数学科および物理学科での数学教育についての雑感:数学者 Hans Freudenthal (1905 – 1990) の紹介文を見て

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Twitter を色々見ていたら こんなの を見つけた.

Freudenthal, 名前だけは聞いたことがあるので Wikipedia で少し調べてみたが何をやっていたのか正直なところよく分からなかった.
20 世紀前半の仕事だというのに今一つよく分からないというの, 何となく衝撃的だったが, 例えば量子力学も一応成立は
1925 年と 20 世紀前半の話なので, 20 世紀前半の話が既に破滅的に難しいというのを再認識した.
最近『数学まなびはじめ』を読んで時代的に数学者に落ちる戦争の影を見たので, 上記 URL にはその点からも感慨深い文がある.

面白かったのはむしろ教育に関わる部分だ.

As a teacher he acquired international fame and significance as the founder of realistic mathematics education,
which is based on problems taken from day-to-day experiences rather than on abstract math rules.
Single-handedly Freudenthal saved Dutch education from the American teaching method of New Math,
which was introduced in many countries from 1960 onwards.
This formal, logic-based method turned out to be unsuitable for most students.

Freudenthal preferred to send his students on a tour of discovery.
His motto was that you learn mathematics best by re-inventing it.
His students were not given abstract bare problems to do but well chosen practical problems from daily life,
and in solving these they gradually developed mathematical understanding.
In addition, Freudenthal thought the recognizability of the problems would lead to the students automatically becoming more interested in mathematics.

独力でアメリカの New Math 運動からオランダの教育を救ったという猛烈に格好いい話に目が向く.
何の本だったか忘れたが, 小平先生は娘さんが New Math に巻き込まれて酷い目にあったとかで批判的な文章を書かれていた覚えがある.

学部は物理学科であって正規の数学教育 (?) を受けたのは修士からであり,
修士ではある程度具体的な問題を念頭に置いて勉強していたので,
学部レベルの数学科の数学についてはよく分からないこともあるが, 物理学科で数学を学ぶときの苦労ぐらいは書いておきたい.

物理学科はあくまで物理をやるところなので, カリキュラムに組み込まれた数学も物理のための数学に集中する.
(歴史的な経緯もあり私の大学の物理学科では実数論, 集合論, 位相空間が必修だったが, とりあえずこれは抜かす.)
物理のための数学とはいうが, 正直, 具体的にどういう数学をどこでどう使うという話はあまりされず, 結構雑だった気がする.
私が単純に聞き落としていた, 聞いてはいたが全く実感が持てなかった, 本当に話されていなかった,
物理で出てくる数学的問題を解決するための数学なのでその元の数学の話が分かっていないといけないためそもそも物理・数学ともにある程度まで進まないと話すのは不可能,
などいくつか原因はあろうが, 今になって考えるとかなりつらい思いをした学生もいたのではないかと思う.
私に関していうなら, 数学を数学として楽しめたという理由以上に毎日訳が分からず目の前の勉強を必死になってやっていて,
そんなことを考える余裕もなかった, というのが実情という感じがある.

通じづらいと思うので「物理で出てくる数学的問題を解決するための数学~」という部分について簡単に触れておこう.
いくらでもあるのだが, 一つは私の専門でもある線型代数だ.
大雑把過ぎるので, さらに具体的なものとして線型空間論を挙げておこう.
少なくとも初等物理では線型の微分方程式がたくさん出てくる.
「線型の」と言っているくらいなのだから当然線型代数が関係しているのだが, これに気付いたのは学部 3 年くらいだった気がする.
量子力学でも重要なので講義でも多少触れたのではないかと思うが, 全く記憶にない.
量子力学は学部 3 年のとき本当にやばいくらいに何も分からず,
学部 4 年で新井先生の本で数学的に復習しつつ整理してやり直したという感じであって, 講義で何かを身に付けたという覚えすらない.

話がずれたが, 線型代数だ.
力学の講義でも出てくる方程式 (運動方程式) は大体線型で重ね合わせが成り立つことを使っているので,
その時点で死ぬ程線型代数を使っているのだが, これも気付いたのは大分あとのはずだ.
無論線型代数の講義で学んだ記憶はない.
ちなみに多体系の安定性みたいな話をするときにポテンシャルを Taylor 展開して Jacobian の行列の正値性に帰着させる話も線型代数だが,
これも学部 1 年当時に本当に線型代数だと認識できていた自信はない.

話がずれっぱなしなのでさらに戻して「物理で出てくる数学的問題を解決するための数学~」のところだ.
上記の例では (偏) 微分方程式の線型性という話をしている.
微分方程式自体あまり馴染みがないので, 微分方程式と言われてもあまりピンと来ない.
運動方程式は学部 1 年の力学でも嫌でも出てくるのでまだいいが, 偏微分方程式となるとつらい.
物理で偏微分方程式を使うというと当然色々あるが, 電磁気学を例に, と言ってもその電磁気 (の数学的取り扱い) が分からない.
電磁気となるとベクトル解析も必要だが, こうやって線型代数の必要性を感じるために他の数学,
さらには物理 (の数学的取り扱い) まで知っていないといけない (ご利益が感じられない) ので,
結局学び始めの段階で具体的な応用の話がしづらくて困る, という話がしたかった.

他の大学は知らないが, 私の大学では学部 1 年次に物理学演習だか何か (講義名を忘れた) という名の数学の演習の講義が必修であり,
そこで通年の (教養の) 線型代数や微分積分の講義とは別に必要な数学をトピックごとにやっていた.
そこでも実際の応用はあまり話された覚えはない.
ただ「とにかく使うことだけははっきりしているから, 泣こうが喚こうがやれ」という雰囲気はあった覚えがある.

色々書いていたら何が書きたかったのか分からなくなってきたのだが,
数学を学ぶことに具体的なモチベーションがあるはずの物理学科ですら,
「必要だからやりなさい」という感じで学習段階であまり具体的な応用の仕方を伝えられることはなく,
結構つらかったという感じのことが言いたかった.
Twitter で言ったのだかブログにも書いたのか忘れたが, 物理ですら道具とする工学部だともっとつらいのだろうな, と思っている.

そして更に元に戻ると, 学部の数学科ではどういう問題意識で進めていくのかよく分からないという話になる.
Freudenthal は抽象的な問題よりも日々出くわす実際的な問題を出題し, それを解くことで数学に慣れ親しませたとあるが,
これはどういうことなのだろう.
この辺, 数学者は数学的自然の中に生きている感があって何となく羨しく感じた.

もちろん今となっては「日々出くわす実際的な問題」みたいな感じはある程度分かる気はするのだが,
必ずしも大学の数学に親しんでいない, 特に学部 1 年生をどう励ましていくのかというところに興味がある.
ある程度慣れた学部 3 年とか, 研究を目指す修士の学生にそういう感じで学ばせていくところにはイメージが湧くのだが.
数学科の修士を出たにも関わらず, (学部の) 数学科は不思議なところだという感覚がいまだにある.

あとこれも前から思っているのだが, 微積分やベクトル解析に関し, 純粋な数学の人の物理抜きの理解の仕方というのがとても気になる.
ベクトル解析だと多様体上の解析というか, Stokes の定理とそこからの展開というイメージの仕方はあると思うが,
私は 2-3 次元でのベクトル解析は物理というか電磁気のイメージなしには最早理解できない.
理解できないというか, 真っ先に電磁気的なイメージが広がってしまうので, 何というか「純粋な数学」として感知できない.
こういうの, 数学の人はどう思っているのだろう.

それはそうと, 3/16-17 の関西すうがく徒のつどいでは正にこの辺の「具体的な問題を通した数学学習」というイメージで,
色々な (反) 例を紹介する講演をする.
それで Freudenthal の話が気になった次第であった.

ついでにいえば, 数学科に限らず, 物理でも結構「具体的な数学」というのが結構穴になっている感じがあるので,
その間隙を縫うことがしたいなとはずっと思っている.
ニコニコでの動画での目的の一つはそこにあるのだが, 数学的に極端過ぎるので, もう少しクッションになれるのを作りたい.


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