千葉大の渚勝先生のコンパクト作用素に関する PDF, 非可換幾何の香りがして面白い

この記事は1分で読めます

このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては自然を再現しよう役に立つ中高数学 中高数学お散歩コース
大学数学に関しては現代数学観光ツアーなどの無料の通信講座があります.
その他にも無料の通信講座はこちらのページにまとまっています.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!


千葉大の渚勝先生によるコンパクト作用素に関する PDF を見つけた.
標準的な説明の中にちょっと面白い説明があったので取り上げたい.

もう少し一般化して, 有界線形作用素 \(T \colon H \to H\) がコンパクトであれば,
集合

\begin{align} \left\{ x \in H \colon \Vert Tx \Vert \geq \alpha \Vert x \Vert \right\} \quad (\alpha > 0) \end{align}に含まれる \(H\) の部分空間は有限次元である.
実際, もし無限次元であるとすると正規直交列 \(\left\{ x_n \right\}\) がとれて,
\(\Vert Tx_n \Vert \geq \alpha\) となる.
\(x_n\) は 0 に弱収束するから, \(T x_n\) は 0 に強収束することになり矛盾する.

言われてみれば当たり前だが, この集合が有限次元にあるというのは知らなかった.
この直後にコンパクト作用素の代数的な性質が議論されているが,
これはコンパクト作用素のなす ()-代数が有界線型作用素全体が作る
(C^
) 環の中で両側
*-イデアルになっていることを表している.
ちなみにコンパクト作用素は非可換幾何の定式化の中で「無限小」に対応している.

書き写すのが面倒なので省略するが, P.2 後半からの極分解の話が面白い.

\(|T|\) は \(T^*T\) の平方根, つまり多項式近似

これを多項式近似とみなすのが面白い.
(C^*)-環は非可換連続関数環とみなせるというのが非可換幾何の基本だが,
それから考えれば確かにコンパクト作用素は多項式近似のような感じになる.
これも非可換 Stone-Weisrstrass とかあるのだから当たり前のことではあったが,
改めて聞くととても新鮮で面白かった.


中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては自然を再現しよう役に立つ中高数学 中高数学お散歩コース
大学数学に関しては現代数学観光ツアーなどの無料の通信講座があります.
その他にも無料の通信講座はこちらのページにまとまっています.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

関連記事

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

このサイトについて

数学・物理の情報を中心にアカデミックな話題を発信しています。詳しいプロフィールはこちらから。通信講座を中心に数学や物理を独学しやすい環境づくりを目指して日々活動しています。
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

YouTube チャンネル登録

講義など動画を使った形式の方が良いコンテンツは動画にしています。ぜひチャンネル登録を!

メルマガ登録

メルマガ登録ページからご登録ください。 数学・物理の専門的な情報と大学受験向けのメルマガの 2 種類があります。

役に立つ・面白い記事があればクリックを!

記事の編集ページから「おすすめ記事」を複数選択してください。