コンパクト自己共役作用素の具体例と確率論, スペクトル理論, 幾何学

この記事は2分で読めます

このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては自然を再現しよう役に立つ中高数学 中高数学お散歩コース
大学数学に関しては現代数学観光ツアーなどの無料の通信講座があります.
その他にも無料の通信講座はこちらのページにまとまっています.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!


作用素論オタなのでちょっと反応した.

最後の確率論の部分について少し補足しよう.
幾何はよくしらないので私がよく知っている量子力学関係のスペクトル解析で説明する.
\(e^{-tH}\) でまず \(H\) を Laplacian \(- \triangle\) としよう.
Gaussian を \(P_t\) と書こう.
\begin{align} P_t(x, y) = \left( \frac{m}{2 \pi t} \right)^{d/2} e^{-m |x-y|^2}{2t}. \end{align} こうすると次のようになる.
\begin{align} (e^{t \triangle} \psi) (x) = \int_{\mathbb{R}^d} P_t(x, y) \psi (y) dy. \end{align} \(P_t\) は Gaussian なので確率論が使えそうだと思うわけだ. これが実は Brown 運動 \(B_t\) で書ける.
\begin{align} (e^{t \triangle} \psi) (x) = \mathrm{E}_x [\psi(B_t)]. \end{align} 量子力学の設定だと Hamiltonian は \(V\) を適当な関数として \(H = – \triangle + V\) だ.
結果から書くと内積が次のように書ける.
\begin{align} \langle \phi, e^{- t H} \psi \rangle = \int_{\mathbb{R}^d} dx \overline{\phi(x)} \mathrm{E}_x \left[ \psi(B_t) e^{- \int_0^t V(B_s) ds} \right]. \end{align} ここで作用素をもう少し一般化すると,
確率論でも対応して確率積分を使うことになる.
さらに一般に楕円型作用素にしても確率論でも対応した処理ができる (場合がある).
それが実際に指数定理にまで持ち上がるというのが驚異的だが,
詳しいところまでは把握できていない.
また, \(H\) が下に有界な場合は \(e^{-tH}\) は熱半群をなす.
ここから半群理論の制御下に入る.
連続時間の確率過程とも思えるし, この辺でまたいろいろ出てくる.
そして最後にこれ.

また関西行きたいしセミナーしたいのだが,
誰に何話そう.


中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては自然を再現しよう役に立つ中高数学 中高数学お散歩コース
大学数学に関しては現代数学観光ツアーなどの無料の通信講座があります.
その他にも無料の通信講座はこちらのページにまとまっています.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

関連記事

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

このサイトについて

数学・物理の情報を中心にアカデミックな話題を発信しています。詳しいプロフィールはこちらから。通信講座を中心に数学や物理を独学しやすい環境づくりを目指して日々活動しています。
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

YouTube チャンネル登録

講義など動画を使った形式の方が良いコンテンツは動画にしています。ぜひチャンネル登録を!

メルマガ登録

メルマガ登録ページからご登録ください。 数学・物理の専門的な情報と大学受験向けのメルマガの 2 種類があります。

役に立つ・面白い記事があればクリックを!

記事の編集ページから「おすすめ記事」を複数選択してください。