Bitbucket にあった【ハードルを下げつつ, 本質的なことから逃げない圏論の解説】というの記事の記述が気になったので

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圏は勉強中で全く酷い理解のままだが,
ミスリーディングっぽい箇所を見付けたので記録しておきたい.
Bitbucket にコメント的なアレがあればよいのだが
見当たらないし, いろいろ書いたら長くなったので
とりあえずブログにまとめた.

「集合の元」はタブー

整数が対象であることから分かるかもしれないが, 対象は集合であることが多い. その集合の中身には言及せずに射の性質を語るのが圏論のやり方だ. 今まで「集合の元」を使って説明していたことと同じ内容を, 対象と射だけで説明するのが圏論だ.
圏論では対象が集合かどうかにはお構い無しにただの抽象的な概念「対象」であるのだが, 慣れるまでは具体的な集合を思い浮かべても良いと思う.
ここの解説では, 集合の言葉と圏論の言葉の間を頻繁に行き来しようと思う. 既に知っている何かに引き付けて考えるのが, 何かを知る方法の 1 つではあるに違いない.

ここがミスリーディングではなかろうか.

念のため書いておくと, スタンスとしては
あくまで数学としての視点を重視してコメントする.
まず圏でなるべく集合の元を取ろうとしないのは
そもそも対象が集合にならないことがあるためだ.

数学としていうなら, 現実問題として
対象を直接調べるよりも対象相互の関係を調べることで
対象自身への理解を深める手法はよく使う
どういう例を出すといいのかよくわかっていないのだが,
例えば素粒子の性質を調べるとき, 粒子を衝突させてその様子を調べる.
いろいろな粒子との衝突を調べてその関係から素粒子の性質を
絞り込んでいくので, 正に相互の関係を調べることで対象自身への
理解を深めていく形になっている.
それで言うなら【その手法も一風変わっている】という記述にも問題がある.

他にもある人の性格を知ろうというとき,
どんな人に対しても穏やかに対応するなら
穏やかな人なのだと理解するだろうし
立場の強い人には下手に出るのに立場の弱い人には横柄に対応する人は
そういう人だと理解されるだろう.
これもいろいろな対象相互の関係を調べることで
元の調べたい対象の性質を調べている.

数学も人間の活動なので, 数学でも似たようなことがよくあるわけで,
そうした現実に即したアプローチとして圏論が出てきたと理解している.

だから【元を取るのはタブー】なのではなく,
【直接元を見たいのではない】のであり,
そもそも集合論的な意味での元がない対象を扱うからであり,
そこまで含めてクリアに見通すために元の存在を仮定しない議論を
重視しているのだと理解している.

また, 計算機科学への応用についてあまりよく知らないが
少し調べた限りでは自然変換が使われることがあるようだ.

関手が対象, 自然変換を射とした関手圏は
対象が関手なので当然対象が元を持たない.
元を取らないと議論できないのでは,
計算機科学への応用上も使いづらくて仕方ないのでは.

貴様の理解も間違っているなどご批判あればご指摘頂きたい.


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