Twitter で頂いた質問への回答: 逆問題と現象数理学

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先程 Twitter でこのような質問を頂いた.
長くなるのでブログにまとめた.
「定義による」というのが正直なところだが,
自分用のメモも込めて紹介・記録しておこう.

まず, 私の理解というところから端的に言えば,
逆問題は応用微分方程式論に端を発する命名で「順問題」に対する「逆」だ.
現象数理学もとりあえずやっていること, 目指すことは
従来の応用数学の枠内にはまると思うのだが,
応用数学と言っても広いから, 特に名前づけから特色を出していっただけ,
という身も蓋もないアレという感じ.
それぞれ独立した営みという理解だ.

逆問題に関して

順問題と逆問題で対になる.
以前関西すうがく徒のつどいでも拡散方程式の逆問題について話したことがある.
その講演原稿は http://github.com/phasetr/math-textbook にも収録しているので
興味がある向きは参照してほしい.

それはそれとして次のような対応がある.

一般に 具体的に
順問題 入力から出力を求める 微分方程式の初期値から解の振る舞いを調べる
逆問題 出力から入力を求める 複数観測地点での震度データから震源地を調べる

微分方程式で定式化される問題を例にしたが,
別に何でもいい.
例えば「友達にいつもと同じ感じでちょっかいを出したら物凄く怒られた.
今日は虫の居所が悪いようだ」というとき, 「怒られた」という出力から
「今日は虫の居所が悪い」という入力を推測するのも逆問題と言える.

元のコメントにある「数理的な法則」というのも
特に数学で比較的綺麗に書ける・モデル化できるタイプの
自然科学・工学的な応用を念頭に置いているのだろうし,
実際に発端もそこにあるが, フレームワークとしては
数学で書ける対象に限定する必要はない.
というか, その方が「応用」は広い.

現象数理学科

まず三村先生の所属する 明治大学現象数理学科のページ から引用しよう.

モノ・コトから現れる複雑な現象を、数学で解明する。

動物や植物の美しい模様、心臓の拍動や薬の吸収などの医学・生理学問題、交通渋滞や経済不況などの社会的問題、流行やブームといった社会現象まで、私たち の身の回りは、現象であふれています。そうした現象を、数学を用いて解明していくのが現象数理学です。現象を数式に置き換えていくことを「モデリング」と いいます。そして実際に導き出した「数理モデル」を使い、コンピュータで高度なシミュレーションを繰り返していくと、これまで目に見えなかった現象の正体 が徐々に明らかになってくるのです。

現象数理学, 要は応用数学だ.
モデリングも諸科学・工学で標準的な考え方だし,
シミュレーションも特に理論工学ではもはや基本中の基本なのではなかろうか.
理論というともっぱらシミュレーションを指すことすらあると聞いている.

応用数学といってしまうと数学の趣が強過ぎるから,
適当な「現象」を扱うのだ, という姿勢を前に出した名称で,
ある種の政治的なスタンス表明という感がある.
特に最近は「役に立つ学問」という流れがあるし,
学科新設という意味でも思惑があるだろう感がある.


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