【線形写像とベクトルはお互いに一対一対応する。これは随伴関手の例にもなってる。】という個人的によくわからない言明をみかけたので意味がわかる方は教えてほしい

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よくわからない言明に遭遇したので.
引用しておくとこれ.

これに関してコメントを頂いたので少しお話しした.

こういうのを見ると, 自分も (よく知らないところで)
とんでもないことを口走っているのではないかと不安になる.
あと圏をフランス語でやってみたい.
何かいい本ないだろうか.


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    • 通りすがり
    • 2019年 9月22日

    圏の読み物を探していたら見つけたので

    線形写像もまたベクトル空間そのものであって、特に体k上のベクトル空間の斉一次写像が V->V** への標準的な対応を作れるっていう意味で、一対一対応するし、同一視してよいという
    割と講義でもよく扱われる話かと思ったのですが、相転移Pさんはどのあたりに分からなさを感じたのでしょうか

    もしかして自分の理解とか納得とかが全然違っているのかもと気になったので

      • phasetr
      • 2019年 9月22日

      関数解析で典型的に出てくる線型位相空間では一般に
      $V \to V^{}$ は単射であっても全射にならないので,
      $V \to V^{
      }$ は同一視できません: その辺がまさに回帰性の問題です.
      「1 対 1 対応」を全単射ではなく単射と定義することはあるにせよ,
      同一視 (ふつう同型の存在という意味になるはず) とまで踏み込んだ言い方をされるとそれは明確な間違いです.

      線形写像もまたベクトル空間そのもの

      線型写像の空間が線型空間なのであって,
      線型写像じたいは線型空間ではありません.

      よくこういう指摘を言葉尻だけの (攻撃的な) 指摘と取られるのですが,
      このへんの言葉遣いの粗雑さはそのまま理解の粗雑さに直結していることが多いので,
      このレベルの基本的な言葉遣いがきちんとしていない人の理解は信用していません.

    • 通りすがり
    • 2019年 9月24日

    返信ありがとうございます。
    また、粗い理解で質問をしてしまい申し訳ありませんでした。

    一般の、つまり任意の有限次線形空間についてですが
    端的に言うと n次線形空間Vと V->Vへの線形写像全体は線形同型です。
    また双対の二回操作 V->V** は標準的な線形同型です。

    行列と線形写像の圏の間には標準的な関手が取れます。
    行列はそのままベクトルでもあるので、同一視できる、という言明に何も問題を感じないのですが

    相転移Pさんが出された例は、連続だったり同相だったりという制約のもとの話ではないでしょうか?
    それとも、何か別の哲学があって「ベクトルと線形写像を同一視する」ことが理解できないのでしょうか。

      • phasetr
      • 2019年 9月24日

      任意の有限次線形空間

      単純に知らないのですが、純粋に代数的な状況での無限次元空間でその同一視ができるのでしょうか。
      私が気にしているのは次元の制約も何もない状況で一般に成り立つのかどうかです。
      なぜ元の文脈にない有限次元性を勝手に付与したところで議論を展開させてそれでよしとしているのか、
      その感覚が分かりません。

      端的に言うと n次線形空間Vと V->Vへの線形写像全体は線形同型です。

      V と V 上の準同型全体は次元が違うと思うのですが、線型同型になるのでしょうか。

        • 通りすがり
        • 2019年 9月24日

        もしかしたら自分の言葉遣いがそう思わせているのかもしれませんが
        自分は相転移Pさんを攻撃したり批判したり、このコメント欄で新しい何かを議論するつもりはありませんよ
        単純に気になって質問したいだけなのですが

        無限次の場合は基礎論っぽい注意が必要なのであまり扱いたくないですが、たぶん成り立つと思います
        引用の個所は V->k(体) ですね。確認せずに投稿してしまい申し訳ないです。
        n次->n次の線形写像であれば n*n 次の線形空間に同型です。これは標準的ではないですが

        最初の質問なのですが
        なぜベクトルと線形写像が同一視できる、とはお考えにならないのでしょうか
        批判ではなくて質問です。どのような考えまたは経験、具体例によるものですか

          • phasetr
          • 2019年 9月25日

          まず, あなたのコメントが間違いだらけな上に要領を得ないので,
          私は心底うんざりしています.

          たぶん成り立つと思います

          こんないいかげんなコメントがほしいのではありません.
          ノイズでしかないので,
          そんなコメントなら書かないでください.

          なぜベクトルと線形写像が同一視できる、とはお考えにならないのでしょうか

          もとのツイートはともかく,
          まず (あなたがいう) 同一視の定義がわかっていません.
          間違った記述などが続いていて,
          総合的に何が言いたいのか,
          いまだに全くわかっていません.

          ベクトルと線型写像に関してこれについて強いて私の認識を書くなら次の通りです.

          • 線型写像全体がなす空間は線型空間である.
          • 個々の線型写像は線型空間の元だという意味でベクトルである.
          • ベクトルは何かの準同型を介すれば線型写像とみなせることはあるにせよ,
            それ自体は単にベクトルであって線型写像ではない.
          • そうする背景がない状況でまでベクトルと線型写像を同一視する理由がそもそもない.
            適当な表現論など個別に準同型を構成して同一視したい状況を設定しているなら,
            同一視するのは当然.

          これ以上, 間違いだらけの雑なコメントをするようならお引き取りください.

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