このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

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清水明『新編量子論の基礎』、エルミート共役に関する等式の導出 – y_bonten’s blog http://t.co/5tmgw1aQod

— ぼんてんぴょん(Bontenpøn) (@y_bonten) 2015, 3月 17

@y_bonten どこまできちんとやるかという話ではありますが【教科書には「演算子の線形性と内積の性質から明らかに」とある】の段落、数学的には間違った部分があります。作用素A+Bはψに(A+B)ψをあてる作用素でAψ+Bψをあてる作用素ではありません

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

@y_bonten 量子力学の場合、非有界作用素という面倒なクラスで議論する必要があり、そこではそもそも作用素Aと作用素Bに対して和が定義できるかどうかがまず非自明です（定義域が{0}になることもありえます）

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

@y_bonten 上の注（(A+B)ψどうの、のところ）は有界作用素なら結果的には成立します。notorious domain problem として非有界作用素で時々言及されます。和だけでなく積が定義できるかも分かりません

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

.@phasetr ご指摘ありがとうございます。くだんの教科書には作用素の和の定義がないままA+Bが登場したので、有限次元で成り立つ事柄から類推して書いてしまいました。ご教授の続きを理解できるよう努めます。

— ぼんてんぴょん(Bontenpøn) (@y_bonten) 2015, 3月 17

@y_bonten ついでにいうなら、adjointが取れない作用素もあります。物理で有名な所で幅の量子論の生成作用素（の作用素核）です。和が取れない例をすぐに作れなくて今泣いているのですが、積について面倒くさくなる例を次のツイートで紹介します

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

@y_bonten 微分作用素D（単純に一変数の微分で十分）の自身との積D^2は単純に2階微分ですが、D^2が作用できるためには元の関数が2階微分可能である必要があります。一方Dだけなら当然1回微分できれば十分です。これは例えば「DとD^2の定義域が違う」とまとめられます

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

@y_bonten DとD^2の和がそのままでは定義できないことも分かります：Dの定義域とD^2の定義域が違うので、適当に定義域を調整する必要があるからです。あと応 用上面倒なこととして定義域が変わると作用素のスペクトルがかわります。スペクトルと観測値と結びつくのでとても困ります

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

@y_bonten 物理の本でその辺を気にしている本は無いでしょうし、物理をやるなら気にする必要も無い話です。無限次元で起こる現象で、数学としては病理的とさえ言われることもあるくらいの話で、知らなくて困ることはほぼないでしょう。私は専門上気にせざるを得ないだけなので

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

@phasetr ありがとうございます。個人的には（いま気にならなくても）必ず先で気になることが目に見えているので、そういう問題点が存在するという予備知識があるだけでずいぶん助かります。

— ぼんてんぴょん(Bontenpøn) (@y_bonten) 2015, 3月 17

非有界作用素という修羅との戦いだった.
あと zena さんとのやりとり.

@zena_mp 和が定義できない（定義域が{0}になる）非有界作用素の組の例を（複数個）出せるでしょうか。すぐに作れず思い出せもしなくて号泣しています

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 17

@phasetr つまらない例でもよければ，共通部分が{0}になる稠密な部分空間の組を用意して，それぞれの中で適当に非有界作用素を定めれば良いのではないでしょうか．

— zena (@zena_mp) 2015, 3月 18

@zena_mp ありがとうございます。あとは何か適当に自分で考えておきます。助かりました

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 18

@phasetr 折角なので，ついでに述べておくと 任意の非有界自己共役作用素Aに対して， dom(A+UAU*)={0} となるユニタリ作用素Uが存在します．

— zena (@zena_mp) 2015, 3月 18

@zena_mp 証明すぐにできる命題でしょうか。もしくはどこかに証明あるでしょうか。自分でも考えてはみます

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2015, 3月 18

@phasetr どこかに載っていいたと思うのですが，ちょっと今思い出せなくて探しています．

— zena (@zena_mp) 2015, 3月 18

あまりにも間抜けで死にたくなった.
仕方がないので粛々と対応していきたい.

あと非有界作用素に関する定理, これはやばい.

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