\(x^n + y^n + z^n – nxyz\) が \(x+y+z\) で割り切れるような正の整数 \(n\) を求めよ.

3 次の因数分解公式, 実験, 特殊値から絞り込む,
オーダーを見る (特に偶数時の振る舞い) といったポイントがある.

まず次の 3 次の因数分解公式は覚えておこう.
時々出てくる.

\begin{align} x^3 + y^3 + z^3 – 3 xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yx – zx). \end{align}これを試験本番でひらめくというのはさすがに大変だ.
形自体は綺麗だし覚えにくいということもないだろう.
これを念頭におけば \(n=3\) が求める正の整数の 1 つであることはわかる.
だから問題はこれ以外の \(n\) があるかどうかで, これを示すことに精力を注ぐことになる.

これもとりあえず割り算してみよう.

\begin{align} f(x, y, z) = x^n + y^n + z^n – nxyz = (x+y+z) q(x, y, z). \end{align}形式的に 3 変数関数 \(q\) が出てくるが気にすることはない.
これさえ書いてしまえば \(x+y+z=0\) としてみるところまではいくだろう.

\begin{align} x^n + y^n + z^n = nxyz. \end{align}そしておそらくここで手が止まる.
一番シンプルなのは次数を見ることだ.
左辺は \(x\), \(y\), \(z\) の \(n\) 次式だが右辺は \(xyz\) で 3 次式になる.
この \(n\) が一致しないといけないので \(n=3\) しかありえない.

また別の見方として数列の極限でよく使う手法も紹介する.
受験生が知る必要は全くないが, 大学でもよく使う標準的なものの見方だ.
わかりやすいように \(n\) を十分大きい偶数, 特に \(n = 20\) としよう.
\(x\), \(y \to \infty\), \(z \to – \infty\) (\(z = – (x+y)\) だから)
とすると左辺は 20 乗のスピードで正の方向に大きくなっていくが,
右辺は高々 3 次のスピードでしか大きくならないし, そもそも負の方向に飛んでいく.
要は全くスピードが釣り合わないし方向も真逆だ.
これは \(n\) が十分大きくなくても成り立つし,
似たような議論が \(n > 3\) の奇数であっても成り立つ.
\(n < 3\) だと右辺のスピードが早くなる.
つまり \(n=3\) しかありえないのだ.
これをきちんと書けば解答になる.

他には特殊値を代入して決定する方法もある.
これはある種の実験と言える.
実験の一種と思えばこの問題特有の解法なのではなく一般的な手法と思えるだろうし,
実験の威力もわかるはずだ.

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