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方針

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あまり方針としていうことはない.
次の方法が身についているかを確認してほしい.

• 相加相乗平均の不等式.
• 三角関数の利用.
• 微分の利用.
• 凸関数の利用.
• ベクトルの内積の利用.
• 必要条件からの絞り込み.

最大最小問題なら微分に叩き落とせないかを考えるのは自然だろうから,
私は微分が 1 番汎用的な解答で, 1 番素直なのは相加相乗平均だろうと思う.

三角関数, 微分, ベクトルの内積利用ではパラメータを
1 つに減らして調べるという共通点がある.
三角関数では (a), (b) というパラメータを (\theta) 1 つに,
微分では (b/a = x > 0) としてパラメータを (x) 1 つに,
ベクトルでは (\vec{y} = (\sqrt{a}, \sqrt{b})) としてパラメータを (\vec{y}) 1 つに落とし込む.
特に微分では式が (1/2) 乗の同次式であることに注意しよう.
このおかげで 1 変数の問題に落としこめるのだ.

また凸関数の定義も一応注意しておこう.
高校だと 2 階微分の符号を見るのが一般的だろうが,
正式な定義は次のようになる.

定義 (凸関数)
関数 (f) が次の条件を満たすとき (f) を下に凸な関数と呼ぶ:
(0 \leq t \leq 1) に対して

\begin{align} f (t a + (1-t) b) \leq t f(a) + (1-t) f(b). \end{align}関数 (f) が次の条件を満たすとき (f) を上に凸な関数と呼ぶ:
(0 \leq t \leq 1) に対して

\begin{align} t f(a) + (1-t) f(b) \leq f (t a + (1-t) b).\end{align}図を見ながら式を書けばいいだけなので別に難しいことはない.
これで覚えておくと, 単に凸という形と微分の結びつきを知るだけではなく,
凸関数を使った不等式が使えるようになるから扱える手法が増える.

ここで話しきれるような話題ではないが, 物理での応用,
特に平衡熱力学では凸関数が大事な役割を果たす.
そのときには凸関数が連続だが必ずしも微分可能ではないこともいろいろな形で効いてくる.

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