(1) 次の極限値を求めよ.

\begin{align} &\lim_{n \to \infty} (1 – \frac{1}{n})^n, \\ &\lim_{n \to \infty} (\sqrt{1 + 2 + \cdots + n} – \sqrt{1 + 2 + \cdots + (n-1)}), \\ &\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{2^{n}}. \end{align}

\(n \to \infty\) のときの次の増大度の順番は覚えてしまおう.
\(n\) の次数をオーダー (桁) と呼んで,
この式を元に考えることを「オーダーを見る」ともいう.

命題
\(n \to \infty\) の極限を考えるとき, 次の大小関係が成り立つ.

\begin{align} \text{定数} < \log n < n < n^2 < \cdots < n^{k} < e^{n}. \end{align}例題 39 の問題 2 では証明を求められているし,
例題 39 の (3) は証明つきできちんと覚えておくこと.

教科書にも一部は書いてあると思うが, 参考までに \(x \geq 0\) のときの次の不等式群も紹介しておく.

命題
\(x > 0\) のとき次の不等式が成り立つ.

\begin{align} e^x &\geq 1 + x, \\ e^{x} &\geq 1 + x + \frac{1}{2!} x^2, \\ &\vdots \\ e^{x} &\geq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} x^{k} \geq \frac{1}{k!} x^k, \quad (k= 1, 2, \dots, n). \label{univ-entrance-exam56} \end{align}\(x < 0\) で成立しないのは \(x^2\) の項の挙動を考えてみればすぐわかる.
証明は辺々引き算した関数を必要な次数まで微分して増減表を地道に書いて考えればいいし,
微分積分学の基本定理を使って次のようにやってもいい.

\begin{align} e^x – 1 &= \int_{0}^{x} \frac{d}{dt} e^t dt = \int_{0}^{x} (x – t)^{0} e^t dt \\ &= [- (x – t) e^t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} (x – t) e^t dt \\ &= x + [\frac{(x-t)^2}{2} e^t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \frac{(x-t)^2}{2} e^t dt \\ &= x + \frac{x^2}{2!} + \int_{0}^{x} \frac{(x-t)^2}{2} e^t dt > x + \frac{x^2}{2!}. \end{align}一般的にやるには帰納法でやってもいいし,
そのまま逐次的にやってもいい.