関数 \(f(x)\) が次のように定義されている.

\begin{align} f(x) = \begin{cases} \frac{1 – \cos x}{x}, \quad (x \neq 0) \\ a, \quad (x = 0). \end{cases} \end{align}(1) \(f(x)\) が \(\infty < x < \infty\) で連続となるように定数 \(a\) の値を求めよ.

(2) (1) のとき, 微分係数の定義にしたがって \(f'(0)\) を求めよ.

(3) \(f(x)\) は \(- \pi / 2 \leq x \leq \pi / 2\) で増加関数であることを示せ.

例題 40 にもあるような連続になるように値を設定する問題だ.
最後まで \(x \neq 0\) と \(x = 0\) で丁寧に場合分けしていく集中力が求められる.
その意味では (3) は完答が難しくその意味で難問といえる.
(2) の誘導をきちんと使える余裕が必要だ.
もちろんこの手の連続性・微分可能性チェックの問題にも十分慣れておくこと.

前半の (1), (2) は問題ないだろう.
三角関数の極限処理では色々な関係式を使いこなせるようになっている必要があるが,
三角関数のいい復習にもなると思ってやってほしい.
(3) が本論だが方針は微分で問題ないし, 特別に言うことはない.
強いていうなら有理関数の増減を見る場合に分母が正なら分子だけ見るようにして,
処理を減らし計算ミスをなくすいつもの手続きを愚直に取るだけだ.
最後の場合分けをきっちりやりきれるかどうかがこの問題の最大のポイントになる.

場合分けについて抜き出して説明しておこう.
\(x \neq 0\) のときの \(f'(x)\) を外挿して形式的に
\(f'(0)\) を求めると\(f'(0) = 3/2\) になる.
これは (2) で定義から求めた値と食い違うのだが,
もちろん定義から求めた値の方が正しい.
試験本番で値が食い違うことにまで気付く必要はないが,
(2) の計算をきちんと使わないと減点になることは間違いない.