(1) \(x\) の方程式 \(a^x = x\) (ただし, \(a > 1\)) がただ 1 つの実数解をもつとき,
\(a\) の値との解を求めよ.

(2) (1) のとき, 曲線 \(y = a^x\), 直線 \(y=x\) および \(y\) 軸とで囲まれる部分を
\(y\) 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ

(1) は例題 44 と同じタイプの問題だ.
処理しやすくなるように計算を進めればいい.
(2) も回転体の体積を求める公式を素直に使っていけばいい.
計算が面倒なので計算ミスをしないように普段から自分で工夫をしていってほしい.

計算ミスに関しては次の公式もポイントの 1 つだろう.
ごちゃごちゃ計算しているとミスの元だ.
この式自体を無理に覚える必要はないが,
まずはその都度落ち着いてこの一般的な形を書き下し,
計算すべき式を代入していくことで計算ミスを減らすのには使える.
自分にとって便利な覚え方・使い方を考えてほしい.

命題 (積分公式)
\(f(x)\) を \(n\) 次多項式とし, \(C\) を積分定数とする.
部分積分を \(n\) 回繰り返すことで次の式が得られる.

\begin{align} \int f(x) e^{x} dx &= (f(x) – f'(x) + f”(x) – \cdots + (-1)^{n} f^{(n)} (x)) e^{x} + C, \\ \int f(x) e^{- x} dx &= (f(x) + f'(x) + f”(x) + \cdots + f^{(n)} (x)) e^{- x} + C. \\ \end{align}