\(\alpha\), \(\beta\) は, 任意の 1 次関数 \(g(x)\) に対して, つねに

\begin{align} \int_{-1}^{1} (x – \alpha) (x – \beta) g(x) dx = 0 \end{align}が成り立つような実数で, \(\alpha > \beta\) とする.

(1) \(\alpha\), \(\beta\) の値を求めよ.

(2) 任意の 3 次関数 \(f(x)\) に対して, 次の等式が成り立つことを示せ.

\begin{align} \int_{-1}^{1} f(x) dx = f(\alpha) + f(\beta). \end{align}

• 偶関数と奇関数の特性, 特に対称性.
• 対称的な区間上の積分.
• 解と係数の関係.
• 多項式の割り算.

割と力づくでいけるのだが,
【任意の 1 次関数】とか【任意の 3 次関数】をどう処理するかで悩む.
なるべく楽にやりたいと思うのが人情なので,
その辺でどう踏ん切りをつけるかという話でもある.

問題を解く上では関係ないが,
(1) というか, 仮定の \(\alpha\), \(\beta\) が存在すること自体がかなり衝撃的だ.
(2) も割といわくありげな式で気になる.
本を読むとルジャンドルの多項式に対する注意があり,
「ああそれか」という感じ.
知っていても受験では役に立たないのでどうでもいいが,
私の専門に限りなく近い話題の 1 つでもあるから紹介したい.

直交多項式, 直交関数系という概念がある.
細かいことは抜かすが,
(線型の) 偏微分方程式を解くときに出てくる.
他にもラゲールの多項式やルジャンドルの陪多項式などいろいろある.
電磁気学や量子力学で出てくる偏微分方程式を解くときに出てくるし,
特殊関数やそれを使った偏微分方程式の解法というところで,
もうやめてくれと泣き叫びたくなるほどたくさんの多項式や関数と微分方程式とその解法を覚えさせられる.
さらに Hilbert 空間での完全正規直交系に一般化される.
Hilbert 空間論は解析学で基本的な空間で,
数学科の解析学専攻なら必ず戦うべき相手であり,
永遠の友人だ.
量子力学の舞台でもあるし,
私のバトルフィールドでもある.

このブログでは数学についてもまずは基本的な解法・アプローチを覚えるように言っているが,
大学に入ると大学受験の比ではない量と難度の暗記と酷使を求められる.
受験程度で根を上げるようでは大学に入ってから地獄の毎日になるだろう.
覚悟しておいた方がいい.