問題は激烈にシンプルで条件は本質的に【異なる 2 点で接する】しかない.
ここを使う以外には打つ手がないのだから,
とりあえず 2 接点を \(\alpha < \beta\) としてみる.
その上でセンターよろしく, おもむろに次の計算をする.

\begin{align} f(x) – g(x) = (x – \alpha)^2 (x – \beta)^2. \end{align}ここで接点は方程式 \(f(x) – g(x) = 0\) の重解になることを使っている¹.
右辺の展開自体が面倒だし,
展開し終わったあとの結果も割と鬱陶しく見えるかもしれないが,
結構すっきり解ける.
落ち着いて問題を眺めることが大事だ.

あと本の【解答 2】のように,
【2 次以上の項しかない】といういわくありげな \(f(x)\) の形に着目して【平方完成】する方法もある.
試験本番でなかなか思いつける方法ではない感じはするが,
問題の特殊性をフルに使い切った要領のいい解法ではある.

これは単純に積分計算するだけだ.
結果は 5 次の計算になるからかなり面倒でミスも起きやすい.
自分なりにミスがないように方法を考えて工夫していってほしい.
本の【解答 (1)】はよい方法を提案してくれているので,
積極的に取り入れるといいだろう.

2 接点の \(x\) 座標を \(\alpha\), \(\beta\) (\(\alpha\), \(\beta\)) とすると

\begin{align} x^4 – 2x^2 – 3x^2 – (lx + m) &= (x – \alpha)^2 (x – \beta)^2 = (x^2 – (\alpha + \beta) x + \alpha \beta)^2 \\ &= x^4 – 2 (\alpha + \beta) x^3 + ((\alpha + \beta)^2 + 2 \alpha \beta) x^2 -2 \alpha \beta (\alpha + \beta) x + \alpha^2 \beta^2. \end{align}係数比較する.

\begin{align} \begin{cases} \alpha + \beta = 1, \\ (\alpha + \beta)^2 + 2 \alpha \beta = -3, \\ 2 \alpha \beta (\alpha + \beta) = l, \\ \alpha^2 \beta^2 = -m. \end{cases} \end{align}これを解いて

\begin{align} \alpha = -1, \quad \beta = 2, \quad l = -4, \quad m = -4. \end{align}

次の式変形に注意する.

\begin{align} f(x) = x^4 – 2x-3 – 3x^2 = (x^2 – x – 2)^2 – 4x – 4. \end{align}したがって

\begin{align} f(x) – (-4x – 4) = (x^2 – x -2)^2 = (x+1)^2 (x-2)^2 \end{align}であり, 曲線 \(y=f(x)\) は直線 \(y= -4x -4\) と
\(x = -1\), \(2\) とある 2 点で接する.
求めるべき \(l\), \(m\) は \(l=-4\), \(m=-4\).

求める面積を \(S\) とする.
(1) の結果を使うと

\begin{align} S = \int_{-1}^2 (x+1)^2 (x-2)^2 dx. \end{align}\(x + 1 = t\) と置換すると

\begin{align} S = \int_{0}^3 t^2 (t-3)^2 dt = \int_{0}^3 (t^4 – 6t^3 + 9t^2) dt = \frac{81}{10}. \end{align}