方針は 3 通りくらいある.
それぞれ見ていこう.

愚直な方法は点と直線の距離をそのまま使うことだろう.
求めるべき点と直線の距離を \(d\) とすると,

\begin{align} d = \frac{|a + 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}. \end{align}あとはこれの最大最小の処理をするだけ.
理系の人は微分を使えばいい.

他には \(d = \frac{|a + 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}\) は絶対値があってうっとうしいので
これを外すこと, \(a\) の実数条件を使うことを考える.
両辺を 2 乗して整理すれば \(a\) の整式ができる.
ここから \(a\) の実数条件に落とし込む.
\(a\) の 2 次式になるとは限らないので場合分けには十分気をつける.

もう 1 つは問題の直線 \(l\) が必ず通る点を調べてみる.
方程式は \(y – 1 = a(x-2)\) と書き直せるからこの直線は \((2, 1)\) を必ず通る.
点と直線の距離の定義から, この距離は点から直線 \(l\) におろした垂線 (線分) の長さだ.
だからこの垂線と \(l\) が直交するときに距離が最小になるはずで,
この直交条件を調べればいい.

具体的に \(\mathrm{P} (p, 0)\), \(\mathrm{Q} (0, q)\) (\(p\), \(q > 0\)) と座標を徹底的に使うようにすればいい.
そうすれば \(\triangle \mathrm{OPQ} = pq / 2\) になるから \(p\), \(q\) の動く範囲を調べればその中で最大最小の評価ができる.
その条件が何かだが, 問題文の条件しか使えないので問題文を読む.
すると直線 \(\mathrm{PQ}\) が \(\mathrm{A}\) を通るから直線 \(\mathrm{PQ}\) の方程式を立てて代入して次の制限がつくことがわかる.

\begin{align} \frac{1}{p} + \frac{2}{q} = 1. \end{align}あとは \(\triangle \mathrm{OPQ}\) に突っ込んで調べればいい.