何はともあれ \(C\) の軌跡 \(F\) を求めたいのだから \(C(x, y, 0)\) と書く.
球面 (球) は球の中心 \(M\) と半径 \(r > 0\) で決まるし \(xy\) 平面と接しながら動く.
ここから求めるべき \(C\) の \(xy\) 座標を \((x, y)\) とすれば

\begin{align} M(x, y, r), \quad C(x, y, 0) \end{align}と書ける.
ここで \(M(x,y,z)\) として \(|z| = r\) としてもいいのだが,
幾何学的に考えると \(S\) が \(xy\) 平面に接するという条件から \(M (x,y,z)\) の \(z\) は \(z < 0\) にはならない.
だからはじめから \(z > 0\) として \(z = r\) としても一般性を失わない.

球面 \(S\) は \(A\), \(B\) を通るからそれを素直に書く:
球ではなく球面なので \(A\), \(B\) は表面上にあるわけで

\begin{align} AM^2 &= x^2 + y^2 + (r-1)^2 = r^2, \\ BM^2 &= x^2 + (y-1)^2 + (r-2)^2 = r^2. \end{align}求めたいのは \(x\), \(y\) の関係式だから \(r\) が余計だ.
\(r\) を潰すことを考えて計算したい.
とりあえずこれを辺々引くと.

\begin{align} y = 2 – r \Longrightarrow r = 2 – y \geq 0. \end{align}これを \(AM^2\) の式に代入すると

\begin{align} x^2 = -r^2 + 6r + 5 = – (r – 1)(r – 5) \geq 0. \end{align}ここから \(r \geq 0\) が動く範囲が \(1 \leq r \leq 5\) だとわかり,
\(-3 \leq y \leq 1\) という条件が出てくる.
改めて \(x\) と \(y\) の式にするために代入して

\begin{align} x^2 + (y-1)(y+3) = 0 \Longrightarrow x^2 + (y+1)^2 = 4. \end{align}\(-3 \leq y \leq 1\) という条件があったのでそれと合わせて考えれば答えが出る.

1 点で交わるといっているので,
まずその 1 点を \((p, q) \neq 0\) としよう.
ここで \((p, q) \neq 0\) としていい理由は 3 直線がこの点を通らないからだ.
まずは 3 点が同一直線上にある条件を数学的にどう書けばいいかを考えよう.
もちろん 1 番単純なのは適当な直線 \(ux + vy = w\) があって,
各点 \(A_i\) がこの直線上にあること, つまり

\begin{align} u a_i + v b_i = w, \quad i = 1, 2, 3 \end{align}が成立することだ.
もう 1 つは \(\overrightarrow{A_1 A_2} = k \overrightarrow{A_1 A_3}\) というようにベクトルで表現することもできる.

どシンプルなのはこう考えること:
\((p, q)\) は 3 直線を通るから

\begin{align} a_k p + b_k q = 1 \quad (k = 1, 2, 3). \end{align}ふつうここで止まると思う.
ただ上の意識があるなら \((a_k, b_k)\) (\(k=1,2,3\)) は \(px + by = 1\) と読めばいいとわかる.
もう 1 つは \(\vec{p} = (p, q)\) として
上の式を \(\overrightarrow{OA_i} \cdot \vec{p} = 1\) と読み替え,
\(\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot \vec{p} = 0\), \(\overrightarrow{A_1 A_3} \cdot \vec{p} = 0\) などと書き換えていく.
内積 0 なので \(\overrightarrow{A_1 A_2}\) などは \(\vec{p}\) と直交するわけで,
\(\overrightarrow{A_1 A_2}\), \(\overrightarrow{A_1 A_3}\) が平行と読み替えられる.