証明抜きで使って問題ないです.
気になるなら証明すればいいだけです.
特に『やさしい理系数学』を読むくらいの人で,
この証明がすぐできないこと自体が問題です.

このくらいの簡単な証明は自力でできるようにしておきましょう.
数 III では不等式を処理する力が大事なので,
いい訓練にもなります.

受験で使うロピタルの定理は
本当に小手先のテクニックでしかなく,
それに頼るよりは高校までに習う範囲の数学の技法を
身につけた方が受験では有利です.

また大切な注意があります.
特にロピタルの定理は定理の成立条件をきちんと言えるかです.
間違った状況で適用してしまうと論述では致命傷です.
論述で使うような状況もあまりない気がしますが,
その場合は十分に気をつけるべきです.
正確に条件を言える自信がないなら,
ロピタルの定理に頼らない解法を身につけてください.

他にもバームクーヘン積分などいくつかの手法がありますが,
本に書いてあるのは基本的に使って問題ないです.
数 III の手法は高校レベルで (厳密に) 証明できない方法が多く,
平均値の定理という教科書に書いてある定理すら証明がありません.

そもそもそうした裏技で一発,
みたいな問題自体そんなにありません.
特に『やさしい理系数学』を読むくらいの
難関大志望の人はまずないと言い切っていいくらいです.

強いていうならセンターの数学, 積分の面積計算での
面積公式くらいでしょう.
これはむしろ時間短縮のために積極的に使ってください.

他にも何か気になることがあれば気軽に質問してください.