2015-08-31 読書メモ Complex Geometry, Huybrechts

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読んでいるのはこの本.

何となく読み始めた.
まずはさらっと全体を眺めてみている.
とりあえずさらさらと読んでみて「これは」と思った記述を抜き出しておく.
あとで読むときめんどいので, 適当な訳もつけておく.
英語の表現集としても使っていきたい.
自分用の TeX に落とすことが前提なので,
適当なコマンドで書いている.
Web の MathJax で直接表示するとうまく表示できなくなるが,
めんどいのでそのままにする.

P.57

変換関数をもっとエレガントに記述する方法がある.
つまり \(\phi_{i} (U_{i})\) をアフィン部分空間 \(\set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{i} = 1} \subset \bbC^{n+1}\) に同一視する.
このとき \(\phi_{j} (U{i} \cap U_{j}) = \set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{j} = l, z_{i} \neq 0}\) かつ
\(\phi_{ij} (z_0, \dots, z_n) = z_{i}^{-1} \cdot (z_{0}, \dots, z_{n})\).

There is a more elegant way to describe the transition functions.
Namely, we may identify \(\phi_{i} (U_{i})\) with the affine subspace
\(\set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{i} = 1} \subset \bbC^{n+1}\).
Then \(\phi_{j} (U{i} \cap U_{j}) = \set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{j} = l, z_{i} \neq 0}\)
and \(\phi_{ij} (z_0, \dots, z_n) = z_{i}^{-1} \cdot (z_{0}, \dots, z_{n})\).

P.59

\(U(n)\) or \(O(n)\) のような古典群は複素 Lie 群ではなく実 Lie 群であることが多いことに注意する.
例えば \(U(1) \cong S^{1}\) は実奇次元.

Note that certain classical groups like \(U(n)\) or \(O(n)\) are often not complex,
but just ordinary real Lie groups.
E.g. \(U(1) \cong S^{1}\) which is of odd real dimension.

定義 2.1.11 全ての \(1 \neq g \in G\) と全ての \(x \in X\) に対してとなるとき \(g \cdot x \neq x\) 作用が自由だという.
写像 \(G \times X \to X \times X\), \((g, x) \mapsto (g \cdot x, x)\) が固有のとき作用が固有であると呼ぶ.
コンパクト集合の逆像がまたコンパクトであるとき,
写像 \(f \colon A \to B\) を固有という.

Definition 2.1.11 The action is free if for all \(1 \neq g \in G\)
and all \(x \in X\) one has \(g \cdot x \neq x\).
The action is proper if the map \(G \times X \to X \times X\), \((g, x) \mapsto (g \cdot x, x)\) is proper.
A map \(f \colon A \to B\) is proper if inverse images of compact sets are also compact.

自由な作用, 固有写像, ふだん使わないからすぐに定義を忘れる.

P.60: Example 2.1.14

  1. 離散な格子 \(\Gamma \subset \bbC^{n}\) が平行移動で自由かつ不連続に作用している.
    したがってトーラス \(X = \bbC^{n} / \Gamma\) が複素多様体である事実は上の命題の結果とも思える.
  2. 射影空間 \(\bbP^{n}\) は \(\bbC^{n+1} \setminus \cbk{0}\) 上の自然で固有かつ自由な \(C^{*}\)-作用の商である.

English

  1. A discrete lattice \(\Gamma \subset \bbC^{n}\) certainly acts freely and discretely by translations.
    Thus, the fact that the torus \(X = \bbC^{n} / \Gamma\) is a complex manifold
    could also be seen as a consequence of the above proposition.
  2. The projective space \(\bbP^{n}\) is the quotient of the natural \(C^{*}\)-action on \(\bbC^{n+1} \setminus \cbk{0}\),
    which is proper and free.

P.68

可微分なベクトル束のカテゴリでは全ての短完全系列が分裂する (補遺 A 参照).
2.4 節でのオイラー列のように, これは正則な設定下ではもはや正しくない.

Recall that in the category of differentiable vector bundles every short exact sequence splits (see Appendix A).
This is no longer true in the holomorphic setting, e.g.
the Euler sequence in Section 2.4 does not split.


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