解説『やさしい理系数学』第 9 章 ベクトル 例題 27

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『やさしい理系数学』第 9 章 ベクトル 例題 27

問題

面積 10 の平行四辺形 \(\mathrm{ABCD}\) がある.
その頂点 \(\mathrm{C}\) を通り, 辺 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{CD}\) の園長と交わる
任意の直線を引き, それぞれの交点 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) に対して

\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AP}} = x \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{AQ}} = y \overrightarrow{\mathrm{AD}} \quad (x > 0, \quad y > 0) \end{align}とする.

(1) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) の値は一定であることを示し, その一定の値を求めよ.

(2) \(\frac{1}{\triangle \mathrm{ACP}} + \frac{1}{\triangle \mathrm{ACQ}}\) の値も一定であることを示し,
その一定の値を求めよ.

ポイント

  • 共線条件.
  • 平面幾何.
  • 面積公式.

方針

辺の長さの情報が出ているから基本的には全てそこに叩き落とす.
むしろそれしか方法がない.
面積も平面幾何の手法を駆使して,
比を考えて辺の長さの情報に叩き落としていく.
この方法がいくつかあって, それぞれ別解になっている.
ベクトルとその公式・手法の復習にもなっているので,
全部おさえておくべきだろう.

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  1. 2016 04.16

    無限と全単射

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