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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.
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解説『やさしい理系数学』第 9 章 ベクトル 例題 28
問題
平面上に平行四辺形 \(\Box \mathrm{OACB}\) があり,
この平面上の点 \(\mathrm{P}\) に対して,
\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OP}} = s \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \end{align}の形に表す.
(1) \(s\), \(t\) 関係式 \(5s + 2t =3\) をみたしながら変わるとき,
\(\mathrm{P}\) はある定直線上を動く.
その直線と 2 辺 \(\mathrm{OA}\), \(\mathrm{OB}\) との交点をそれぞれ
\(\mathrm{A}’\), \(\mathrm{B}’\) とするとき, \(\overrightarrow{\mathrm{OA’}}\),
\(\overrightarrow{\mathrm{OB’}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) を用いて表せ.
(2) \(\mathrm{P}\) が平行四辺形 \(\Box \mathrm{OACB}\) の周上または内部にあって,
\(5s + 2t \leq 3\) をみたしながら動くとき, \(\mathrm{P}\) が動く領域の面積は,
平行四辺形 \(\Box \mathrm{OACB}\) の面積の何倍か.
(3) 線分 \(\mathrm{A’B’}\) 上の点 \(\mathrm{P}\) を通り, 2 辺 \(\mathrm{OA}\), \(\mathrm{OB}\) のそれぞれに平行な
2 直線を \(l\), \(m\) とし, \(l\), \(m\), \(\mathrm{OA}\), \(\mathrm{OB}\) で定まる平行四辺形の面積を \(S\) とする.
点 \(\mathrm{P}\) が線分 \(\mathrm{A’B’}\) 上を動くとき,
\(S\) を最大にするような点 \(\mathrm{P}\) について, \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) を用いて表せ.
ポイント
- 点が同一直線上にある条件.
- 点が動く範囲の決定.
- 平面幾何.
方針
教科書レベルの知識を丁寧に運用していくだけ.
最大最小を議論するときにはいつだって変域に注意すること.
最後に: 気軽に質問してください
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