三角形 \(\mathrm{ABC}\) の内部の 1 点を \(\mathrm{O}\) とし,
\(\mathrm{OA}\), \(\mathrm{OB}\), \(\mathrm{OC}\) の延長がそれぞれ辺
\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\) と交わる点を順に
\(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\) とするとき,

\begin{align} \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AD}} + \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{BE}} + \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{CF}} = 1 \end{align}が成り立つことを証明せよ.

cyclic に文字が出ていることがポイントだろう.
何か共通の手順・方法で比を別の表現に落として整理していけばいいのではないかと思える.
それが具体的に何かが問題だ.
平面幾何の問題なので辺の長さか面積くらいしか使える道具はないので,
何とかしてこれらに落とすしかない.

三角形 \(\mathrm{ABC}\) の辺 \(\mathrm{BC}\) の延長上の点 \(\mathrm{P}\) を通る直線が
\(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{AC}\) と交わる点をそれぞれ \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\) とし,
\(\mathrm{BE}\), \(\mathrm{CD}\) の交点と点 \(\mathrm{A}\) を通る直線が \(\mathrm{BC}\) と交わる点を \(\mathrm{Q}\) とするとき,

\begin{align} \mathrm{PB} \colon \mathrm{PC} = \mathrm{QB} \colon \mathrm{QC} \end{align}であることを証明せよ.

辺の比に関する話なので基本はメネラウスの定理・チェバの定理だろう.
完全に平面幾何という感じの問題でしか出てこないことが多いが,
難しい問題になると幾何学的な考察が効いてくることは多いし,
それを鍛えるために触れておくことは損ではない.

方針としては \(\mathrm{PB}\), \(\mathrm{PC}\), \(\mathrm{QB}\), \(\mathrm{QC}\) を捻り出すことをまず考える.
これらが出てくるようにメネラウス・チェバを使う.

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) のどの頂点も通らず, どの辺とも平行でない直線 \(l\) がある.
\(l\) と直線 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CD}\), \(\mathrm{DA}\) との交点をそれぞれ \(\mathrm{P}\) ,\(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\), \(\mathrm{S}\) とするとき,

\begin{align} \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}} = 1 \end{align}が成り立つことを証明せよ.

cyclic に綺麗に書けているのでいかにもいわくありげというのに気付くことが一番大事.
実際, これは四角形版のメネラウスの定理だ.
三角形版のメネラウスを組み合わせて使うと証明できる.