このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

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SO(n) の連結性を示すお手軽な方法って、何があるだろう？

— H. Hosaka (@H_H) 2015, 10月 29

@H_H まず、GL^+(n) の点が {1⊕g | g∈GL^+(n-1) } の点に結べることをいう（まず、どんな GL^+(n) の点も基本変形のホモトピーにより 1⊕g or (-1)⊕(-g), g∈GL^+(n-1) の形の点に結べる。後者の場合は半回転する。）

— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2015, 10月 29

@H_H こうして帰納法で GL^+(n) が弧状連結であることをいい、最後にグラム・シュミットの連続性を使って path を SO(n) に落とし、SO(n) も弧状連結とわかる。…って、手軽じゃないですね（笑）

— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2015, 10月 29

@H_H (-g) は (-1)^{n-1}(g) に直してください

— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2015, 10月 29

@yamyam_topo ああーなるほど。基本変形のホモトピーで先に GL+ の中で path 作っちゃうんですね。

— H. Hosaka (@H_H) 2015, 10月 29

@yamyam_topo …と思ったのですが、「det > 0 ならば、基本変形で行列を表すときに置換行列を使わずに済む」ってそんな簡単に示せます？ ( ´・ω・`)

— H. Hosaka (@H_H) 2015, 10月 29

@H_H 第1行に非零成分があることから、第1行を (1,0,..,0) にするのは「ある列の c 倍を別の列に足す」変形の繰り返しでできます。（c を 0 から望みの値まで変化させると道ができる）。そのあと第1列を掃き出すのも同様で、結局 1⊕g の形になります。

— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2015, 10月 29

@H_H (-1)⊕[(-1)^{n-1} g] は不要だった気がしました。

— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2015, 10月 29

@yamyam_topo 確かに。ありがとうございます。

— H. Hosaka (@H_H) 2015, 10月 29

@H_H 予備知識少なめで頑張ってみましたがグラム・シュミットのこのような使い方がどれだけ初等的といえるかは分かりません。

— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2015, 10月 29

@H_H 縦ベクトルの基底1本1本を標準基底に回転で移動させてけばパスつくれるんでない

— monae (@monae) 2015, 10月 29

@monae やっぱ地道にそうやって path 作るのが簡単かねえ

— H. Hosaka (@H_H) 2015, 10月 29

あまりよくわかっていないがとりあえず

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