このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

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スペクトルの存在範囲を調べるときの証明方法とか、基本的にレゾルベント集合を調べて示したはずなので、幽霊感というか補集合感はけっこうあったな レゾルベント集合が人間でスペクトルは幽霊だとか言われたら、実用的な面から言ってまあわけわからんのだけども（イメージあるなら誰か教えて下さい）

— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2

@masayotominaga 固有値として直接定義できる有限次元と違って定義そのものがレゾルベントの補集合となっているので、証明方法はどうしようもない感がないでもないです

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2014, 10月 2

@phasetr 確かに全単写「であること」の方が示しやすいのは確かですね…

— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2

@masayotominaga 後のポイントはレゾルベントが有界作用素として定義してあることです。有界ならありとあらゆる乱暴なことがかなりうまく働くので

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2014, 10月 2

@phasetr えっと、「レゾルベントが有界作用素として定義してあること」とは実数の集合としてのレゾルベント集合ではなく吉田近似をするためのあれのお話でしょうか（両者の関連についてあまりよく理解していないもので…）

— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2

@masayotominaga スペクトルを調べるのに作用素としてのレゾルベントを使う方の話です。私がやっているのは主に複素ヒルベルト空間の話ですが、(A-zI)^{-1}をzの複素関数と思って解析接続していってスペクトルを調べるとかそういうのをやります

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2014, 10月 2

@masayotominaga zが複素平面内でレゾルベント集合に入っているなら(A-zI)^{-1}は有界作用素なので何かこう色々やりやすいという話で、作用素としてのレゾルベントを介してレゾルベント集合を調べることでスペクトルを同定しにいくというのが私の界隈の作用素論であります

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2014, 10月 2

@phasetr 例えば非有界作用素Aはどのようなものかお聞きしてもいいですか？

— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2

@masayotominaga 私の場合は場の量子論のハミルトニアンです。ゆきみさんあたりが多少関係しているのは量子力学のシュレディンガー作用素で、シュレディンガーを微分方程式と見るよりも作用素と見て作用素特性調べたい時にちょこちょこ作用素としてのレゾルベントの解析が出てきます

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2014, 10月 2

@masayotominaga 特にスペクトルに固有値がある場合、固有値は複素関数(A-zI)^{-1}の極（必要なら内積をとって本当に複素関数にする）になるのでそれを使って固有値の情報を取りに行きます

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2014, 10月 2

@masayotominaga もっと一般にはレゾルベント自体グリーン作用素と呼ばれてこれの作用素核関数としてのグリーン関数調べたり、多様体上のラプラシアンのグリーン作用素からスペクトルを調べて幾何的な情報を引き出す話まであります

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2014, 10月 2

@phasetr なるほど、興味深いお話をありがとうございました

— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 3

役に立つことが言えた気がしないが,
とりあえずまとめておく.

吉田近似もそれなりに有界性ちゃんと使っていた記憶がある.
Hilbert, Banach 空間系の枠組みでやっていれば,
微分作用素はたいがい非有界なはずだ.
もちろん超関数の空間だと連続になってしまう.

あと有界領域での Laplacian (もう少し一般に楕円型でも言えたはずだが) は,
それ自身非有界でもレゾルベントが
有界どころかコンパクトにさえなるし,
幾何解析とか調和積分とかその辺でも大事なはず.