このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

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いろいろと謎で何を言っているのかいまだにわかっていないが,
とりあえずやり取りを記録.

これで微分作用素が非有界なのになんで指数写像が定義できるのか、の疑問が解決。

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@ilovegalois 超関数の空間なら微分作用素は有界だし、そもそも有界非有界と指数写像の定義自体がそもそも関係ないのでは。接空間に位相入れていなくても指数写像定義できるでしょう

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 23

@phasetr そうなんですか？！

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@ilovegalois 非有界というためにはそもそも位相いるでしょう

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 23

@phasetr 作用素としての非有界性は関数空間の距離じゃダメですか？

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@ilovegalois 指数写像の定義をするいかなるときでもアクトさせる関数空間に位相入っているのでしょうか。入っていたとしてもどんな位相が入っているかが問題ですが

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 23

@phasetr そこがよくわからないです。っていうか指数写像の一般的な定義知らないのでそれを知りたいです…何かいい文献ありますか？

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@ilovegalois どの文脈で指数写像を定義しているのでしょうか。幾何の文脈での定義と関数解析・作用素論での文脈があります。関数解析・作用素論でもヒルベルト空間・バナッハ空間での半群理論と、超関数論の文脈での微分作用素の扱いとかでもまた趣違うので

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 23

@phasetr うーん、それって全部違うんですか…？(゜_゜;)

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@ilovegalois 位相があったりなかったり、位相があっても連続になったり非有界（不連続）になるし、多様体上だと指数写像の定義に使う「時間」が局所的にしかならない（完備な多様体の話とか必要）なので、それぞれ見たい現象や主な適用対象も違うので全然違うのでは

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 23

@phasetr んーと、難しいことはよくわかんないんですが、個人的に、多様体上での出来事と関数空間上での出来事を同一視したいというのが今の一番の目標で、別に有界でも完備でも何でも条件付きでいいんで、その関係を理解したいです。

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@ilovegalois あと理解したいことがあるのにむずかしいことはよくわかんないとか言ってしまえる姿勢、割と最悪では

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 23

@phasetr 何が最悪なのかよくわかんないですが、これから関数解析を勉強していく中でいろいろ出てくる指数写像の相互関係を理解したいと思うのが最悪ということでしょうか？

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@phasetr 別に一蹴したつもりはないんですけど（ほんとに難しいと思っただけなので）、気分を害されたなら謝ります、すみません。作用素の有界性って距離が必要だと思ってたので、位相だけで定義できるのは初めて知りました。作用素は奥が深いですね…勉強したいです( ゜o゜)

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 23

@ilovegalois きちんと伝わっていないようですが、純粋に位相空間か距離までいるかという話ではなく、多様体上だとシンプルな設定では接空間に位相がない（リーマン計量入っていない）ですが、（続）

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 24

@ilovegalois その状態でも指数写像は定義できて、そのときには距離どころか位相すら入っていないので、有界・非有界という言葉自体が意味を持たないということです。位相だけで十分という意味ではありません。ついでにいうと、線型位相空間では距離付けできなくても有界性は定義可能

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 24

@phasetr なるほど！それで位相なんですね！接空間は（有限次元多様体しか知らないので）いつも適当な基底をとってR^nと同一視して位相入れちゃってるんですが、まずこの辺からちゃんと勉強したほうがいいかもですね…何か参考になるものがあったら教えて欲しいです(゜゜;)

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 24

その 2.

昨日の指数写像の話、局所解と大域解のどちらを意図してるかが違っただけで意見そのものは対して食い違ってないと思うんだけど、そういう話ではないのかなぁ

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 24

@ilovegalois 私は多様体上だと完備性が関わってきて局所的な定義しかできないことは言いましたが、意識としては主に位相が入っているかもわからないところで生成作用素の有界・非有界の議論をしても意味がないところにあったので、私としては全く話が噛み合っていないイメージです

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 24

@phasetr 相転移さんのブログでもおっしゃってましたけど、ハウスドルフな有限次元線型位相空間には完備な位相がただ一つ入りますよね？それではダメなんですか？

— 星宮みかん。 (@ilovegalois) 2016, 1月 24

@ilovegalois 生成作用素の有界性・非有界性を議論するとき、具体的にどんな空間にどんな位相を入れて考えているのか教えてください。これがはっきりさせられていないなら無意味とずっと言っていますし、そういうふわっとした答えしか返ってこないから全く噛み合っていないといっています

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 24

@ilovegalois あらかじめ言っておきますが、位相線型空間を指定した上で入る基礎となる完備な位相が一つ、という話なので、そもそも位相線形空間を基礎となる位相込みできちんと指定できないならその一意性、この文脈では何の意味もありません。それをまず指定しろ、という話なので

— 相転移P（市民） (@phasetr) 2016, 1月 24

何を言っているのか本当に全然わからない.
局所解と大域解というの,
多様体上でのベクトル場が作る局所 1 径数部分群の話を想定していると思うのだが,
それで正しいならこれは多様体の完備性に関する話だ.
一方で微分作用素 (ベクトル場) の有界・非有界は微分作用素が作用する空間と,
その上の線型作用素の集合の位相の話だ.

後者の文脈では局所解とか大域解とかそういう話を見た記憶がない.
前者にしたところで,
指数写像が (時間) 局所的な定義しかできないか
全体まで伸びるかという話で, 局所解・大域解という言い方はとりあえず見たことがない.

何かよくわからないし,
私が幾何を知らなすぎる問題もある.
何はともあれとりあえずメモ.