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とりあえずは結論から.

【結論】圏論は具体的過ぎてクソ、formal category theoryをやろう👊

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

何を言っているのか全く理解できていないが,
とりあえず未来の自分のためにまとめておく.

圏論の基礎でとある命題を読んだぼく「なるほど」
その証明を読んだぼく「わからん」
Kan拡張を使って自力で証明したぼく「自明」

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

数学徒もうみんな寝た?

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

最近、圏論は具体的過ぎて難しいのではないかという気がしてきたんですよ

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

圏論で一番重要なのは、やはり自然変換の合成だと思うんです。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

まず自然変換の合成ができないとKan拡張の定義が理解できない。 #全ての概念はKan拡張である

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

圏論における「全ての概念」の一つである「随伴」も、通常(?)はHomを使って定義することも多いけど、自然変換の合成で定義することもできる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

そして、圏論をやっていて気付くのは、圏論の証明では「圏」「関手」「自然変換」の定義を気にすることはほとんどなくて、自然変換の計算をやっているだけで証明ができてしまう。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

すると一つの疑問が出てくる: 「圏」「関手」「自然変換」を抽象化した概念を使って「圏論」を行うことはできるか?

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

圏全体は圏Catをなすけど、CatはHomが圏になっている(自然変換が射)。そこで一般に、Homが圏になるような「圏」を2圏という。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

この2圏は先ほどの「圏」「関手」「自然変換」を抽象化したような概念になっている。例えば随伴やKan拡張の定義を知っている人であれば、直ちに「2圏の中での随伴/Kan拡張」を定義することができる

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

あ、今言っている2圏はstrict 2-categoryです。Cat豊穣圏と言ってもいい。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

こういう、2圏で「圏論」をやるのはformal category theoryと言われていて、実はいろいろなことが知られている。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

例えばStreetのthe formal theory of monadsというのがあって、これは一般の2圏の中でモナドを考察した論文だ。定義は関手の場合と同じ。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

例えば、今Cを2圏とすると、Cの中の「モナド」全体はまた2圏になることが分かる。これをMonad(C)と書くことにする。対象c∈Cを一つ取ると、恒等射id: c→c は自明にモナドになる(恒等関手がモナドになるのと同じ)ので、包含Inc: C→Monad(C) が得られる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

このIncっていうのは2-関手と言われるもので、関手の2圏バージョン。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

さて、このIncは2-左随伴(2圏の間の随伴)を持つことが知られているが、2-右随伴があるかどうかは分からない。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

ところが、実は、Cを2圏としたとき「Inc: C→Monad(C) が2-右随伴を持つならば、Cの任意のモナドが随伴から得られる(関手の場合と同じで随伴からモナドを作ることができる)」という定理が成り立つことが分かる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

関手の場合の、「任意のモナドが随伴から得られる」という定理は、Inc: Cat→Monad(Cat) が右随伴を持つ、ということに系にすぎない。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

これすごくないですか(小並Kan)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

@alg_d これの証明に使ってるのがこのツイートの図式ですね https://t.co/FuZLN1a9i0

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

ちなみにこの話にはオチがあって、Catの場合右随伴があることをどうやって証明するかというと、T代数を具体的に構成してわちゃわちゃやる(普通の場合とあんまりかわんねぇ…)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

他にも、例えば左随伴が左Kan拡張と交換するという定理があって、 https://t.co/6K8kN2SN42 に証明が置いてあるけど(kan_extension.pdfの定理6)、この証明は何が書いてあるのかよく分からない

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

@alg_d 該当箇所 pic.twitter.com/GRx05r5mc1

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

この定理、実はこんな難しいことしなくても、一般の2圏で証明できる

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

左随伴が左Kan拡張と交換するのは、随伴が絶対Kan拡張であることとかいろいろ知ってれば、普通に考えれば証明できます

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

ところで圏論では、みなさんご存知の通り、Kan拡張よりもむしろ各点Kan拡張の方が重要なわけですが

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

コンマ圏の普遍性を知っていれば、一般の2圏の中で「コンマ対象」を定義することができるので、これを使って「各点Kan拡張」が2圏の中で自然に定義できます。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

ところが、V-豊穣圏がなす2圏 V-Catで「コンマ対象を使った各点Kan拡張」を考えると、これは、普段考える「V-関手の各点Kan拡張」と一致しない場合がある(Vによる。例えばV=Setの場合、V-Catは圏の圏Catになるけど、この場合は一致する)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

んでまあどうするかっていうと、「V-関手の各点Kan拡張」と一致する「各点Kan拡張」を定義することがいろいろ考えられていて、例えば2圏に「yoneda structure」を導入するという方法がある

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

yoneda structureというのは、2圏において、「Catでの米田埋込」に相当する射を公理的に導入する方法で、例えば米田に沿った米田のKan拡張がidになることなどを要求する。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

yoneda structureですごいのは、普遍随伴的な現象が証明できる

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

とまあ最近こういう感じのことを勉強してるんですけど、圏論のかなりのことが、ただの図式の計算(圏とか関手とか自然変換がなんなのかということは気にする必要がない)でそんなに難しくなく証明できることが分かって、圏論というのは具体的過ぎて難しいのではないかと思ったわけです。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

【結論】圏論は具体的過ぎてクソ、formal category theoryをやろう👊

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日

あと微妙に掴みきれていないが印象的な話をまとめておく.

今の話の証明を含んだ話は https://t.co/6K8kN2SN42 のKan拡張PDFに書いてある。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

ということらしいが何となくツイートのまとめを入れておきたい.

今日も圏論の話するか

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

圏の例として、順序集合というのがある

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

(X, ≦) を順序集合としたとき、
・元x∈Xを対象とする
・x≦yのとき、xからyへの射がただ一つ存在する
・x≦yでないとき、xからyへの射は存在しない
とすると、圏が得られる。この意味で、順序集合Xを圏とみなす

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

ここで圏における極限というのを考えてみる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

「極限」の具体例として、直積という概念がある。集合の直積や群の直積、位相空間の直積などを一般化した概念である

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

直積の定義 pic.twitter.com/6qcvMX2HyQ

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

順序集合(X, ≦)を圏とみなして、圏Xにおける直積を考えてみる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

x, y∈Xを取り、直積x×yが存在したとしてみる。定義から、こいつは次の条件を満たす。
・x×y≦x かつ x×y≦yである
・z∈Xが「z≦x かつ z≦y」を満たせば、z≦x×yである

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

つまり、x×yとは「xとyの下にある奴のうち、最大のもの」、すなわち{x, y}の下限(=最大下界)である: x×y = inf{x, y}

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

例えば、有理数全体 Q を通常の順序で順序集合、すなわち圏とみなしたとき、有理数x, yに対して直積 x×y は常に存在し、min{x, y} のことである

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

例えば、集合Aのべき集合P(A)を、包含関係で順序集合、すなわち圏とみなしたとき、S, T∈P(A) に対して直積 S×T は常に存在し、 S×T = S∩T である。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

圏論では双対というのがあって、射の向きを逆にして得られる概念を双対概念という。直積の双対を余直積と呼ぶ。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

順序集合の場合、直積は下限だったけど、その双対である余直積は上限である。つまり下限と上限は双対の関係にある。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

特にP(A)を考えれば∩と∪は双対である。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

さて、 f: A→B を写像とすると、「像」を与える写像 f: P(A)→P(B) と、「逆像」を与える写像 f^-1: P(B)→P(A) があった。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

皆さんよくご存じのとおり、 f^-1 は∩や∪と交換する: f^-1(S∩T) = f^-1(S)∩f^-1(T), f^-1(S∪T) = f^-1(S)∪f^-1(T)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

一方 f: P(A)→P(B) は∪とは交換する( f(S∪T) = f(S)∪f(T) )けど∩とは交換しない: f(S∩T) ≠ f(S)∩f(T)となる例がある

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

これはいったいどうしてなのか?

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

ここで、今の話はいったん置いといて随伴というものを考える。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

C, Dを圏、F: C→D, G: D→C を関手としたとき、組(F, G)が随伴とは、c∈C, d∈D について自然な同型 Hom_D(Fc, d)=Hom_C(c, Gd) が成り立つことをいう。(Homは集合だから、ここで同型と言っているのは全単射のことである)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

例えばXを集合として、右から直積する関手 -×X: Set→Setと、Homを取る関手 Hom(X, -): Set→Set を考えると、A, B∈Setに対して全単射 φ: Hom(A×X, B)=Hom(A, Hom(X, B))が存在するから、

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

-×XとHom(X, -)は随伴である。(φは、写像 f(a, x): A×X→B に対して、φ(f): A→Hom(X, B) を φ(f)(a) = f(a, -) で与える写像である)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

随伴 Hom_D(Fc, d)=Hom_C(c, Gd) となっているとき、Fを左随伴、Gを右随伴という。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

ここで重要な定理がある: 左随伴は余極限と交換する。右随伴は極限と交換する。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

特に、左随伴は余直積と交換し、右随伴は直積と交換することが分かる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

例えば、右から直積する関手 -×X: Set→Set は左随伴だったから、余直積と交換する。Setの余直積はdisjoint unionなので、集合AとBのdisjoint unionをA+Bと書けば、(A+B)×X = A×X+B×X が分かる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

つまりこの場合、直積と余直積で「分配法則」が成り立つ。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

同様にHom(X, -)は右随伴だから直積と交換し、Hom(X, A×B)=Hom(X, A)×Hom(X, B)である。これはHom(A, B)=「AからBへの写像全体」=B^Aと書くと (A×B)^X = (A^X)×(B^X) であり、「指数法則」ということになる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

さて、f^-1: P(A)→P(B) の場合に戻ると、この写像は実は関手になる。というのも、これは順序を保っているからである。(順序集合を圏とみなしたとき、順序集合から順序集合への関手とは、順序を保つ写像のことである)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

そして、 f^-1 は右随伴かつ左随伴であることが分かる。つまり、 f^-1 は直積・余直積の両方と交換する!

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

つまり、さっきの f^-1(S∩T) = f^-1(S)∩f^-1(T), f^-1(S∪T) = f^-1(S)∪f^-1(T) は、f^-1 が左随伴かつ右随伴という定理のただの系なのである。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

一方、 f は左随伴だけど、右随伴にはならない。よって余直積と交換すること( f(S∪T) = f(S)∪f(T) )は言えるけど、f(S∩T) ≠ f(S)∩f(T) は言えないのである。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

(むしろ、f(S∩T) ≠ f(S)∩f(T) から、 fが右随伴とならないことが言える)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

(むしろ、f(S∩T) ≠ f(S)∩f(T) から、 fが右随伴とならないことが言える)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

さて、f^-1: P(B)→P(A) が左随伴かつ右随伴になるということを示すためには、関手 F, G: P(A)→P(B) で、
「Hom(F(S), T)=Hom(S, f^-1(T))」
「Hom(f^-1(S), T)=Hom(S, G(T))」
となるものを

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

見つけなければならない。これはどうやったら分かるのか?

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

それはKan拡張から分かるのである #全ての概念はKan拡張である

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

まず、先の F が「fに沿った左Kan拡張」f†、Gが「fに沿った左Kan拡張」f‡、になることが、Kan拡張の定義からすぐにわかる。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

そして、各点Kan拡張によりf†, f‡を計算すると、　
f†(S) = f(S),
f‡(S) = B＼f(A＼S)
となることが分かる。(f‡(S)は Sのsmall imageなどと言われるものらしい……)

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

こうしてまた全ての概念がKan拡張であることが分かってしまったのである。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

今の話の証明を含んだ話は https://t.co/6K8kN2SN42 のKan拡張PDFに書いてある。

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

あと何かやりとり.

前から気になってたけどfが単射のときfと共通部分って交換するけどこれも随伴の存在から言えたりするのでしょーか？

— 意識 (@concious77) 2016年4月23日

@concious77 fが単射だとfの左随伴が構成できそうで、構成できると極限と交換するから∩と交換しますね

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

@concious77 fが単射だとfの左随伴が構成できそうで、構成できると極限と交換するから∩と交換しますね

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

@concious77 たぶんf: A→Bが単射でb∈B＼Aのとき、 F: B→P(A) を F(x) := 「f(a)=xとなる a(そういうのがないときはb)」と定義すると、(2-豊穣圏としての) Kan拡張 y†F: P(B)→P(A) が fの左随伴になりそう

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

f^-1の話は、Kan拡張感動ポイントとして最も簡単な話だと思うので、これ以外の話をしようと思うと話がもっと難しくなってしまう

— リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月23日

最近全くやれていないが研究用に代数解析を勉強したくて,
そのために圏論を勉強をゆるふわスタイルでゆるく勉強している.
その辺の参考になるし,
ブルブルエンジン兄貴, どんどん謎の人になってきていてすごい.