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#数楽 再掲おすすめ
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⊗圏関係が多い感じ。Moore-Seibergの論文以降のトレンドの一つだと思う。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@genkuroki #数楽 共形場から来るモジュラー圏は複素代数曲線の代数幾何にまだ十分に応用され尽くしていないように思われる。

長谷川浩司さんが証明したキャラクターレベルでのレベル・ランク双対性は楕円曲線の場合の共形ブロックの双対性とみなせ、それを〜続く

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@genkuroki #数楽 続き〜そのまま一般のリーマン面に拡張するための自然な枠組みはモジュラー圏だと思う。モジュラー圏には多くの対称性があって(組紐群対称性を含む)、それを利用すれば一般的な双対性を示せると思う。続く

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

共形場だから当然なのかもしれないが,
作用素環での共形場のフォーミュレーションでも braid 群が出てくるようなので,
braid 群やばいという感じがある.

@genkuroki #数楽 「楕円曲線+点なしの共形ブロック(キャラクター)のレベルで双対性があれば、他のすべての場合に共形ブロックの双対性が拡張される」という予想が立てられます。これはある意味、レベル・ランク双対性の究極の一般化。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@genkuroki #数楽 Verlinde予想は「楕円曲線+点なしの共形ブロック(キャラクター)のモジュラー変換性のデータだけで、すべての場合の共形ブロックの空間の次元を具体的に書ける」という予想。本質的にMoore-Seibergによって証明された。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@genkuroki https://t.co/hBI4lOtdmB と違うのですか？

— Hiraku Nakajima (@hirakunakajima) 2016年7月7日

@hirakunakajima その手の話の一般化の話です。レベル・ランク双対性だとGKOのコセット構成によるヴィラソロ代数の表現の構成から来る共形ブロックの双対性が含まれないのですが、上の話はそういう場合も含む話。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@hirakunakajima 複数の共形ブロックのシステムのあいだにペアリング(もしくは写像)があるときに、それらがmonodromyやらfusionとコンパチブルでかつキャラクターへの制限が非退化(もしくは同型)ならばシステム全体でもそうなるだろうというのが予想の概略です。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@hirakunakajima 「共形ブロックのシステム」とは安定曲線のモジュライ上の層としての共形ブロックのこと。長谷川さんは「キャラクターレベルで双対性が成立している」という型の複数の結果を示しているのですが、それが全部一般のリーマン面上に拡張されるだろうというのが予想です。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@genkuroki ヴィラソロの双対性の文献は、何ですか？ いっぱいあるなら、読みやすそうなのを希望です。

— Hiraku Nakajima (@hirakunakajima) 2016年7月7日

@hirakunakajima アフィンsl(2)からのコセット構成の共形ブロックとVirasoro代数から直接作った共形ブロックのあいだの同型で直接的な計算で証明できるケースについては https://t.co/IM2NEoMEcP に書いてあります。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@genkuroki コセット構成は知りたいと思いながら、読める文献を知らなかったので、教えてもらった論文は役に立ちそうです。

— Hiraku Nakajima (@hirakunakajima) 2016年7月7日

@hirakunakajima 文献は書いてない。GKO構成は表現＝キャラクターレベルでのaffine sl(2)とVirasoroのあいだの双対性で、その双対性から同型だと予想される共形ブロック間の写像を作れます。片方はコセット構成に付随する共形ブロックでもう一方はBPZ。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@hirakunakajima 長谷川さんの論文で証明されている表現＝キャラクターレベルでの双対性のすべてが共形ブロックレベルでも成立していると予想するのは自然で、共形ブロックレベルでの同型と予想される写像の構成はそう難しくないという話です。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@hirakunakajima ぼくが一般的な場合について何か書いておけば良かったのですが、書いてなくてごめんなさいの世界。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月7日

@genkuroki ちなみにsl のレベルランク双対性は、アファインA型のクーロン枝 https://t.co/zLgM9isPX9 と関係しています。

— Hiraku Nakajima (@hirakunakajima) 2016年7月7日

@hirakunakajima #数楽
ググってhttps://t.co/Ocp0APwgt3
共形場理論におけるコセット構成と双対性
於京大会館1994年9月

を発見。22年前。「予想」の一般的な証明のためにはモジュラーテンソル圏が適切な枠組みじゃないかなと思っています。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月8日

@genkuroki https://t.co/hBI4lOtdmB も、その一つ前のhttps://t.co/ImXEmOkjZ3 も、グラスマンの量子コホモロジーとの関係を使っているはず。Bさんに[NT]と同じように表現論だけで証明できないのですか？ と質問したら

— Hiraku Nakajima (@hirakunakajima) 2016年7月8日

@genkuroki [NT]と同じ議論ではモゴモゴの困難がある、との答えだった。モゴモゴは説明されたが、忘れた。

— Hiraku Nakajima (@hirakunakajima) 2016年7月8日

@hirakunakajima [NT]の方針では「KZ→組紐群の表現→その表現は既知のもの」という経路で組紐群の表現論を本質的に使うので、その経路をそのまま一般化するのは大変。そのままではなくbraiding,fusionのシステムを系統的に利用する方針ならたぶん有望。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月8日

@hirakunakajima 共形ブロックのbraiding,fusionの仕組みを系統的に利用するための仕組みがmodular tensor圏。典型的応用例が「任意のRCFTでVerlinde予想が成立していること」に関するMoore-Seibergによる証明。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月8日

@hirakunakajima Moore-Seibergによる(一般的な)Verlinde予想の証明については、古本が1万円近くもする山田泰彦さんの共形場理論の教科書に書いてあります。 https://t.co/ieUL7CuQdi

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月8日

山田泰彦さんの『共形場理論入門』には昔の基本的結果の証明が多数紹介されていて(超高密度)、しかも、山田泰彦さんによって再構成されてわかりやすくなった証明が紹介されている。かなりすごい本。 https://t.co/ieUL7CuQdi #数楽

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月8日

たとえば、アフィンLie環の脇本表現の構成を、ある種のLie環のコホモロジーの計算を使わずに、screening作用素と「可換」になるという条件による特徴付けによる計算だけで行っていたりする。これは論文にしても良さそうな結果。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月8日

自由場表示におけるもっとも重要かつ基本的な場はscreening作用素。screening作用素を中心に計算を整理するのは自然。VirasoroやW代数だけではなく、アフィンLie環の自由場表示(脇本表現)でもその方針ですべてを計算し切ることができるという話。

— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年7月8日

よくわからないが山田泰彦さんの『共形場理論入門』,
英訳した方がいいのではないかという気がする.