このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

理系のための総合語学・リベラルアーツの視点から数学・物理・プログラミング・語学 (特に英語) の情報を発信しています. コンテンツアーカイブに見やすくまとめているのでぜひご覧ください.

「無限」の野矢茂樹氏解説によれば、無限論の歴史は「思考不可能なものを考えようとしてきた人間たちの偉大な知性の格闘の歴史」だそうだが、僕にとっては、具体的な数学的問題に結びついた具体的な問題だ。数学の歴史は、テクニカルな問題が、どんな哲学者よりも深い洞察を与えてくれる事を教える。

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月15日

@shinjike 僕には、「無限論の教室」における野矢先生の立場は、科学者に「科学は決して確実じゃない」とお説教する自称科学哲学者達とどこが違うのか、よく分からないんです。数学の哲学や科学哲学で一番やってはいけないことは、「現場の科学者に対するお説教」なんじゃないでしょうか。

— ytb (@ytb_at_twt) 2010年12月12日

そういえば、野矢茂樹氏の本のせいか、日本でも「直観主義＝実無限の否定」と信じる人が多い。けれど、それは間違っていると思う。構成的数学の枠組みとなる直観主義論理上の集合論（CZFとか）は無限公理を含んでいるし、無限公理は実無限の存在を仮定してるというのはムリのない主張ではないか。

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt →これを強いてもう少しまともな主張として述べようとすると，「実無限の存在を仮定する＝ある無限集合上の量化文に対して二値原理が妥当すると仮定する」になるのだと思います．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@Zahlangabeheft CZFの無限公理より、任意の自然数n に対しnを表現する数値\bar{n} \in \oemga となることは証明でき、つまり集合ωが全ての数値を含む無限集合なこと自体は証明可能で二値原理が働かないのは他の元についてですが、これでは不足でしょうか。

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt 「任意の自然数n に対しnを表現する数値\bar{n} \in \oemga となること」を実無限の存在の仮定とは誰も言わないでしょう．\forall x \in \omega (Fx) という形の文に対して一般に二値原理が成り立つかどうかという問題です．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@Zahlangabeheft ファジイな人間としては「ωが無限集合であることは確定的に真であるがωの全ての元が確定しているわけではない」と言いたい所ですが。ωのtotalityが確定しているのが「実無限」の定義なんですか。ついでにこれはダメットとかの定義なんですか？

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt 必ず超準数を含むωのようなものは実無限じゃないと思いますね．定義ではなく，実無限という捉え難い考えの一つの定式化が「ωのtotalityの確定＝ω上の量化文に対する二値原理の妥当性」なのだと思います．Elementsのダメットの説明は確かこんな感じかと．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@Zahlangabeheft もちろん、ωに含まれる超準元のフォームが確定されれば、その限りではないんでしょうねぇ。ちなみに実無限を認めるとは「無限集合を表わすタームを認めるという点に尽くされる」といっている論者ってどんな人なんですか？

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt すみません，「尽くされる」と言った人を知っているわけではないです（「…尽くされる，という意見もありうる」と書けばよかった）が，実無限のポイントが無限集合を表わすタームを認める点にあるという主張はokmt先生が『事典哲学の木』の項目「無限」で述べています．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@Zahlangabeheft okmt先生の項目は私も読みました。あれは素晴らしい記事だし、結論もリーズナブルだと思います。

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt 「ωに含まれる超準元のフォームが確定されれば、その限りではないんでしょうねぇ」というのも（フォームが何なのか曖昧なまま言えば）多分その通りで，totalityが確定か否かより，意味論的な値が客観的に決まっているかどうかがより重要な区別になります．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@ytb_at_twt …といっても，もちろん「実無限を認めることのポイントは，無限集合を表わすタームを認めるという点に尽くされる」という意見もあり，この意味では「構成的数学でも実無限を認めている」と言うのは文句なく正しいです．ただそれは構成主義者が批判したものではないと．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@ytb_at_twt ええと，クリスチャンにとっての「イエスは湖の上を歩いた」という主張みたいな扱いかもしれません…．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@Zahlangabeheft …つまり盲信している過激派がたくさんいるということですね！

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt いや過激派は絶滅してるでしょ…と言いかけて，そういえばネルソンはガチだった，いやそれどころかよくよく話を聞くと集合の要素は形成途上にあると思っている人が結構多かった，と思い出したので，「湖の上」は言い過ぎたかもしれません．聖体拝領レベルか．

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

@Zahlangabeheft まぁネルソンは…。

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt 有限主義の中でもいろいろありますからね…

— Yuko Murakami (@yukoim) 2012年11月18日

@yukoim 明らかに実無限を否定している有限主義のバージョンって何かありましたっけ？

— ytb (@ytb_at_twt) 2012年11月18日

@ytb_at_twt 野矢本を擁護したくはありませんが，「無限集合を表わす名辞を含む＝実無限の存在を仮定」というのはやや粗雑では．「実無限の存在を仮定する」とは，要素のすべてが「すでに完成している」ような無限集合の存在を仮定するという非形式的な「哲学的」主張であり，→

— 山田 (@Zahlangabeheft) 2012年11月18日

あと何かこれ.

@phase_tr ちなみに、ムーア本を水で薄めたのがこの本なので、読んでみるといいですよ。ヒドいですから。ホント「哲学の貧困」という感じ。
無限論の教室 (講談社現代新書) 野矢 茂樹 https://t.co/Sk34DmH3P3 via @amazonJP

— ytb (@ytb_at_twt) 2016年3月12日

@ytb_at_twt 高校生のときにはまっていたのですが、どのあたりが「貧困」なのか教えてもらってもいいでしょうか。ウィトと直観主義だからですか？「当たり前」を大げさに言ってる感じですか？

— で れ (@nothingbut44) 2016年3月12日

@nothingbut44 そうですね、そもそもの点として、数学は自律的な学問であって、哲学者が外部から哲学的正当化とかしてあげる必要性は全くないものだと思いますね。
そこで頼まれもしないのにしゃしゃり出て、お説教して回っても、実のある議論にはなりませんよ。

— ytb (@ytb_at_twt) 2016年3月12日

@ytb_at_twt はい。いま野矢さんのような問題意識を持って研究している数学者はいないということですよね。
ちなみに、哲学は自律的な学問だと思われますか？

— で れ (@nothingbut44) 2016年3月12日

@nothingbut44 大変残念ながら、たくさんいるんですよ。構成主義者達は、排中律を認めないことが、無限概念にどのような影響を与えるかについて、厳密で数学的に大変有意味な研究をたくさん行っています。それらを知らないのは野矢先生ですし、知らない人はお説教をするわけです。

— ytb (@ytb_at_twt) 2016年3月12日

@ytb_at_twt なるほど…それは失礼しました。
そうした方にぜひ無限論の教室の続きを書いて欲しいですね！

— で れ (@nothingbut44) 2016年3月12日

よくわからないがあとで読み返したくなる可能性は極めて高い.
保全しておくべきなので記録.