このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.
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#数楽 Quick GraphやWolframAlphaの何がうれしいかと言えば、作った画像をツイッターなどに投稿してみんなで共有することが容易なこと。そうやって数学ネタの共有をおおっぴらにかつ巨大な人数でやれる時代が来ている。中学生あたりからそういうことをやれればいいと思う。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月25日
これに関係すると勝手に判断したツイートを収集しておく.
大元の Paul のツイート.
院試の採点中に他の教員の方から質問されて即答できなかった「極小値をもつが最小値ではなく、他に極値を持たない函数」の例。この例では原点は唯一の臨界点で、極小であるが平面全体で最小ではないhttps://t.co/fywPUKQJUn pic.twitter.com/PcQW1hHVKz
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
似たような反例として「二変数函数で二つのみ極大点をもつが、他に臨界点を持たない函数」 https://t.co/JdxJ2g4tUX
二つ山があれば間に峠点なり極小点が必ずあると思われるが実はそうではない。グラフを描いても見にくい pic.twitter.com/QESFWKJVeR— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
jstorの論文は登録すれば無料で読める。この二つ山があって峠のない函数のグラフはwolfram alphaでみてもよくわからないhttps://t.co/i9YJzDChu6
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
@Paul_Painleve maximize -(x^2-1)^2-(x^2-e^y)^2https://t.co/rpqPSbm1UT
で, 極大値が見えました.— 襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA (@shz_fsmy) 2016年8月24日
@Paul_Painleve ただ一つの臨界点を持ち、そこでは極小になるが大域的には最小値ではない2変数多項式の例としてはx^2+(1+x)^3 y^2があります。またこのような性質を持つ4次以下の2変数多項式は存在しないようです。
— ggdank (@ryoonosuke) 2016年8月25日
@Paul_Painleve 野村隆昭著『微分積分学講義』で知りました。
— ggdank (@ryoonosuke) 2016年8月25日
昨夜のツイートにファボが多かったのと訂正も受けたので、少し解説をかねて長く書きます。多変数函数f(x1,x2,,,,,xn)で偏微分が全て0になる点を「臨界点」と呼びます。函数が極大・極小になるなら臨界点になるが、逆は成り立たない。以下、微分可能性は十分あると仮定します。
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
f[x,y]=x^3+y^3-3xy=0
は(x,y)=(1,1)でのみ極小かつ値域は(－∞，∞）
連続でなくてもよいなら1変数でも可能で
f[x])=1/(1-x^2)
f[x]=(e^x)/x
とかかなぁ． https://t.co/SYSMDvVUmc— 中村拓人 (@tactn001) 2016年8月24日
1変数であれば、ある区間(a,b)で定義された微分可能な函数がただ一つの極小値を持ち他に臨界点を持たなければ、自動的に最小値になります。1変数でも不連続にすれば反例はあります https://t.co/kFPMPiqYtC … が、さすがに定義域は連結で考えたい。
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
そこで2変数ではどうなるか。問題設定としては「平面全体で定義され、臨界点が一つしかなくそこで極小ならその極小値は大域的にも最小か？」 感覚的には反例がありそうだけど、他に極大・峠点をもたないように作るのは工夫がいるというのが https://t.co/g0J1ZJxLqD
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
.@NoMore_JILPT 訂正ありがとうございます https://t.co/EEy62SeCIj
また先ほどの,@tactn001さんのx^3+y^3-3 x yも(1,1)で唯一の極小点ですが原点に峠点を持ちます— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
臨界点を他にもっていいのなら、一変数でも3次函数 x-3- 3xは極大・極小はそれぞれ一つずつだけど最大・最小にはならない。2変数なら、極小が一つで極大がなくても峠点があれば、うまくかわして最小にならないようにできる。この峠点を「無限大にうまく飛ばす」ことで反例が作れます
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
（符号を変えて） 3xy – x^3 – y^3 の峠点である原点を無限遠にとばすにはyをe^y に変えて、3 x* e^y-x^3-e^(3 y)とすれば良いという簡単な解説：https://t.co/h2c4h1WMwV
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
Ira Rosenholtzさんはこんな例をよく考えているようで、似た話としてもう一つ紹介したのが「極大点を二つだけもつが他に臨界点を持たない」函数。二つ山があれば必ず間に峠がきそうだけど、2変数ならうまく勾配をつければ峠を消せる https://t.co/RK1jR0gKIY
— Paul Painlevé@JPN (@Paul_Painleve) 2016年8月24日
冒頭の Paul のツイートに対する黒木さんの反応.
#数楽 https://t.co/XjuO3zxj60
iPhoneのQuick Graphというアプリでグラフを書いてみました。もう一枚に続く pic.twitter.com/lA6qd081S0— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽 続き pic.twitter.com/1hJ4aSx9SE
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽https://t.co/2KQEfkXbEV
こちらについてもiPhoneのQuick Graphでグラフを描いてみた。もう一枚に続く。 pic.twitter.com/P0ghXB6kYX— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽
もう一枚 pic.twitter.com/GbG4cIHsxY— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽 もっと高級なことをできる道具も手もとにありますが、式を入れるだけでグラフを描いたり、様々な計算を教えてくれたりするツールは便利だよね。先のQuick Graphとか、WolframAlphaとか。中学生あたりから使い始めるといいと思う。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽 面倒なコードを書かなくても色々教えてくれる数学ソフトはもっと増えて欲しいと思う。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽https://t.co/XjuO3zxj60
「極小値をもつが最小値ではなく、他に極値を持たない函数」の例。
yを固定しながらグラフを描いた。
yは赤0→橙0.5→黄1→緑1.3→空1.4→青1.42 pic.twitter.com/EmqueOXuvd— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽 おわんの底から出ておわんの底よりも低位に下がれる地形をおわんの底以外に臨界点がなくなるように作る問題。おわんの底から出て下に降れる場所が勾配のある尾根にあれば臨界点を作らずに無限に降れる。
ふう。個人的にはこれですっきりした感じ。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽 やはり具体的な函数表示抜きに函数のグラフをフリーハンドで描いて「こういう形の函数は条件を満たしている」と言えるようにならないと。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽 臨界点(停留点)を減らすには勾配のある谷や尾根をうまく作って利用すればよいということみたいですね。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月24日
@genkuroki #数楽 https://t.co/Bn8oZNvk7U
この例もグラフを見たい人がいると思ったのでつくりました。z=3xy-x^3-y^3 の原点は臨界点(峠点) pic.twitter.com/Sb5C8TePBw
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月25日
#数楽 続き
z=3xy-x^3-y^3 のyにe^yを代入するとこんなグラフになる。 pic.twitter.com/rbZbQ1nAoN— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月25日
#数楽 私がいつもiPhoneで使っているQuick Graph
KZ Labs「Quick Graph: Your Scientific Graphing Calculator」https://t.co/dHXx98D176
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月25日
#数楽 iPhoneで購入してほとんど毎日何かに使っているWolframAlphaのアプリ
Wolfram Group LLC「WolframAlpha」https://t.co/RIIxgrOQMj
保護者は子にねだられたとき、このアプリは買ってあげるべき。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月25日
#数楽 WolframAlphaのアプリは有料だが、ウェブで使えば無料でも使える。https://t.co/MvF14sy2Fi
しかし無料での使用はCPUの制限がきついので、アプリにお金を少し払っておいた方がストレス無く使えるし、数学記号も入力しやすい。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2016年8月25日
こういうのでもっと遊びたい.
工夫しないとな, とずっと思ってはいる.
あとこれ, 代数幾何の世界でいろいろやっているわけで,
代数幾何やばいというのを改めて感じた.
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