このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

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集合に「近い」「遠い」を表す構造を付け加えたいじゃん、だけど「近い」を点と点の間の関係とすると反射・対称・推移的であってほしいし、そうしたら同値関係になって、敵と味方に分かれるだけなんですね

— [狐]クレイモア (@iClaymore) 2016年11月5日

もっと情報を付け加えてなんかこう連続な感じにしたいんですね、で私の知る限り 4 つのアプローチがあって、「2 点に近いか遠いかの 2 値でなく実数の値を与える」「点と部分集合の間の関係にする」「部分集合と部分集合の間の関係にする」「2 点間の関係をたくさん用意する」がある

— [狐]クレイモア (@iClaymore) 2016年11月5日

それぞれ距離空間、位相空間、近接空間、一様空間というものになります

— [狐]クレイモア (@iClaymore) 2016年11月5日

あまり考えたことがなかった.
参考のために記録しておこう.

追記

魔法少女からコメントを頂いた.

@phasetr 標準的には一様空間は沢山の二項関係(もしくは沢山の擬距離)を備えた空間だが, 超準的には一様空間は超準点の間に「無限に近い」という同値関係を備えた空間と見ることができる.

— 🌔 (@functional_yy) 2017年3月1日

久し振りに魔法少女から超準解析系の話を聞いた気がする.

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