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集合に「近い」「遠い」を表す構造を付け加えたいじゃん、だけど「近い」を点と点の間の関係とすると反射・対称・推移的であってほしいし、そうしたら同値関係になって、敵と味方に分かれるだけなんですね

— [狐]クレイモア (@iClaymore) 2016年11月5日

もっと情報を付け加えてなんかこう連続な感じにしたいんですね、で私の知る限り 4 つのアプローチがあって、「2 点に近いか遠いかの 2 値でなく実数の値を与える」「点と部分集合の間の関係にする」「部分集合と部分集合の間の関係にする」「2 点間の関係をたくさん用意する」がある

— [狐]クレイモア (@iClaymore) 2016年11月5日

それぞれ距離空間、位相空間、近接空間、一様空間というものになります

— [狐]クレイモア (@iClaymore) 2016年11月5日

あまり考えたことがなかった.
参考のために記録しておこう.

追記

魔法少女からコメントを頂いた.

@phasetr 標準的には一様空間は沢山の二項関係(もしくは沢山の擬距離)を備えた空間だが, 超準的には一様空間は超準点の間に「無限に近い」という同値関係を備えた空間と見ることができる.

— 🌔 (@functional_yy) 2017年3月1日

久し振りに魔法少女から超準解析系の話を聞いた気がする.