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バナッハ空間で「有界閉集合はコンパクト」と「有限次元」って同値なの

— ロールパンナちゃん (@__dingdongbell) 2016年11月6日

@__dingdongbell 反例：自明付値体Qに対しQ^Nに自明ノルムを与えたバナッハ空間は全体が有界閉集合かつ非コンパクト

— p進大好きbot (@non_archimedean) 2016年11月6日

@__dingdongbell なんかnが大文字になってしまいました。
Q^nは全体が有開閉かつ非コンパクトなのに有限次元。

— p進大好きbot (@non_archimedean) 2016年11月6日

@non_archimedean なるほどありがとうございます・・・(ちなみに逆は成り立つんですか…？)

— ロールパンナちゃん (@__dingdongbell) 2016年11月6日

@__dingdongbell 「有界閉集合がコンパクト」→「0次元または体が局所体か有限体」なので、体が局所体または有限体の場合のみ考えればよく、その場合はバナッハ空間が直交化可能（l^2空間と同型）なので正規直交基底を持つ場合を考えればよく、

— p進大好きbot (@non_archimedean) 2016年11月6日

@__dingdongbell 正規直交基底は有界離散部分集合を定め、離散集合がコンパクトであることは有限集合であることと同値なので、有限次元であることが示されます。

— p進大好きbot (@non_archimedean) 2016年11月6日

@non_archimedean 知らない事実のオンパレードでしたorzありがとうございますm(__)m

— ロールパンナちゃん (@__dingdongbell) 2016年11月6日

@__dingdongbell 「有界閉がコンパクト」→「reductionが有限次元」は簡単に言えるので、最初から正規直交基底を持つことが分かっている状況ならもっと簡単に示せますけどね。

— p進大好きbot (@non_archimedean) 2016年11月6日

@non_archimedean @__dingdongbell これ、体が実数か複素数なら元の同値は成り立つのでしょうか？wikipediaには局所体に実数、複素数を含めることもあるとか書いてあって付値あたりの話をまるで知らないので判断つかない状態です

— 相転移P (@phasetr) 2016年11月8日

@phasetr @__dingdongbell 僕は非アルキメデスのみ考えていましたが、RとCでも成立します。正規直交化可能性は成り立ちませんが、同値性を示したいだけならリースの補題から同様に無限離散集合を作れば良いです。https://t.co/n38xsl9ys3

— p進大好きbot (@non_archimedean) 2016年11月8日

@non_archimedean @phasetr なるほど、ありがとうございます

— ロールパンナちゃん (@__dingdongbell) 2016年11月8日

もとの命題, $\mathbb{R}$ と $\mathbb{C}$ なら成り立つと思っていた
(証明も読んだはずだがパッと思い出せなかった) ので,
かなり驚いて「$\mathbb{R}$ と $\mathbb{C}$ でも本当に成り立つんだったか」と
不安になったので思わず聞いてしまった.
関数解析的にシンプルな議論はどんなのだったか確認しなければいけない.
次の PDF が参考になりそうだ.

• http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_2.pdf

あとで必要なところだけ切り出してまとめてメルマガにも書こう.

$\mathbb{C}_{p}$ とかの非アルキメデス体,
本当に $\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ の関数解析の直観がまるで効かないことを改めて実感した.