このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

理系のための総合語学・リベラルアーツの視点から数学・物理・プログラミング・語学 (特に英語) の情報を発信しています. コンテンツアーカイブに見やすくまとめているのでぜひご覧ください.

1. Eのルベーグ測度は正(0でない).
2. 任意の可算個のベクトル{x_n}に対し, E+x_nの和集合が全体にならない.
以上の条件を満たすようなR^Nの可測集合Eを構成せよ

先月の飲み会でこれを後輩に聞かれて、そのときベールのカテゴリー定理つかいました

— たんじぇ (@f_tangent) 2016年11月16日

@f_tangent パッと思いつかないのですがどういう感じの構成でしょうか？

— 相転移P (@phasetr) 2016年11月16日

@phasetr 内点を持たない閉集合が2番を満たすことはBaireより従います. ゆえ内点を持たない閉集合で測度が0より大きくなるものを探せば良いのですが，N=1として例えば測度が0より大きくなるように作るカントールセットがあります.

— たんじぇ (@f_tangent) 2016年11月16日

@phasetr 他には, 有理数体を{q_n}と番号づけて, 開区間(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n)のnに関する和集合をOとします. Oは開集合で, その補集合Eは内点を持たない閉集合で1次元ルベーグ測度が無限大になります(よって1,2を満たします)

— たんじぇ (@f_tangent) 2016年11月16日

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