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1. Eのルベーグ測度は正(0でない).
2. 任意の可算個のベクトル{x_n}に対し, E+x_nの和集合が全体にならない.
以上の条件を満たすようなR^Nの可測集合Eを構成せよ

先月の飲み会でこれを後輩に聞かれて、そのときベールのカテゴリー定理つかいました

— たんじぇ (@f_tangent) 2016年11月16日

@f_tangent パッと思いつかないのですがどういう感じの構成でしょうか？

— 相転移P (@phasetr) 2016年11月16日

@phasetr 内点を持たない閉集合が2番を満たすことはBaireより従います. ゆえ内点を持たない閉集合で測度が0より大きくなるものを探せば良いのですが，N=1として例えば測度が0より大きくなるように作るカントールセットがあります.

— たんじぇ (@f_tangent) 2016年11月16日

@phasetr 他には, 有理数体を{q_n}と番号づけて, 開区間(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n)のnに関する和集合をOとします. Oは開集合で, その補集合Eは内点を持たない閉集合で1次元ルベーグ測度が無限大になります(よって1,2を満たします)

— たんじぇ (@f_tangent) 2016年11月16日

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