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高校のベクトルの授業で先生が「ベクトルとは方向と大きさを持つ値である」と教わってから４次元以上のベクトルが理解できなくなってしまいました。今思うと「複数の要素から成る値」と教えてもらったほうがよかったかも。

— 伊勢 幸一 (@ibucho) 2016年12月12日

何次元だろうが「方向と大きさを持つ値」なのは変わらないよなーっていうのをわりかし自然に受けいれられたので、なんとも言えない。

— ちゅーん (@its_out_of_tune) 2016年12月12日

@its_out_of_tune 数学としてのベクトルは方向や大きさを持つ保証はありません。それは位相的な概念で、ベクトルが住む線型空間に内積やノルムを入れない限り、ただの代数的な対象であるベクトルは方向や大きさを持てません

— 相転移P (@phasetr) 2016年12月12日

@phasetr えーと、いま対象にしているのは、ここの公理の話であってます？ https://t.co/gvu238WhaE んで、方向や大きさの議論をするためには、この上に内積やノルムを定義する必要があると。

— ちゅーん (@its_out_of_tune) 2016年12月12日

@its_out_of_tune だいたいそうです。「だいたい」というのは情報系での符号理論のように、応用上でも体が実数または複素数ではなく有限体など一般の体である場合も入れないと不都合だし、符号理論だと方向も大きさもなく2点間の距離だけ決まってさえいればいいケースもあるからです

— 相転移P (@phasetr) 2016年12月12日

@phasetr ありがとうございます。以前このへんの話をおそわった記憶があったのですが綺麗さっぱり忘れてました……。ときに、内積やノルムが定義出来ないような体も存在するんでしょうか？逆にいえば、任意の体上のベクトル空間に方向や大きさを定義可能かどうか。

— ちゅーん (@its_out_of_tune) 2016年12月12日

@its_out_of_tune 内積は微妙ですがノルムは常に定義できます。ノルムに関しては https://t.co/sqTSOyMNeA のP.1例1のような自明なノルムが常にあります。内積に関しては https://t.co/RJtmasHp2y あたりの微妙な話があります

— 相転移P (@phasetr) 2016年12月12日

あともう 1 つ.

確かに、素のベクトル空間には、内積とかノルムは存在するとは限らないよな。

— Takashi Miyamoto (@tmiya_) 2016年12月12日

@tmiya_ ちなみに有限次元てあっても「自然な」内積やノルムが本当にない場合があります。例えば定数係数の線型常微分方程式の解空間は有限次元ですが、特に決まった内積やノルムの入れ方はありませんし、本当に入れずに議論することも多いはずです

— 相転移P (@phasetr) 2016年12月12日

ふだん使わないから実数または複素数以外の体の場合の内積についてすぐ忘れる.
前も書いた気がするがどの記事だったか忘れたので,
改めてまとめておこう.