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自己共役2階楕円型微分作用素の固有値が正で集積点が∞なのはいいんだけど、小さい順に並べたときにどれくらいのオーダーで発散するのかって知られてるの？
— け (@ke_math) 2013年12月5日
@ke_math ほとんど答えになっていないですが、（有界領域で）量子統計との兼ね合いを考えるとき、Tr e^{-\beta H}の収束を考えないといけないのでその辺でなら多少の結果はあります。Riemann幾何でのラプラシアンの固有値の漸近評価を見るのもいいかもしれません
— 相転移P (@phasetr) 2013年12月5日
@phasetr ありがとうございます。調べてみます。
— け (@ke_math) 2013年12月5日
何ら役に立つ情報を出せた気はしないが,
かつての自分がこんなことをさらっと言っていたことに割と衝撃を受けている.
きちんと記録しておこう.
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ラプラシアンの固有値の振る舞いについてはWeyl’s lawが知られてます。
以下はwikipediaより
In mathematics, especially spectral teory, Weyl’s law describes the asymptotic behavior of eigenvalues of the Laplace–Beltrami operator.
https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_law
これの非可換幾何・共形場理論版が「量子現象の数理」の河東先生のところにも書いてあります。
http://tinyurl.com/lylhooj
非可換幾何版との比較のところでリーマン多様体版もちょろっと書いてあります。
あとこんな記事が
sp.spectral theory – Growth of Laplacian eigenvalues on a compact domain? – MathOverflow
https://mathoverflow.net/questions/67893/growth-of-laplacian-eigenvalues-on-a-compact-domain
楕円型作用素の固有値分布と負の固有値について (位相 解析的方法による偏微分方程式の研究)
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/106892/1/0160-8.pdf [pdf]
Eigenvalues of the Laplacian [pdf]
https://web.stanford.edu/class/math220b/handouts/eigenvalues.pdf
Eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian, Andrew Hassell [pdf]
http://maths-people.anu.edu.au/~hassell/efns.colloq.pdf