続 量子力学の無限井戸問題の取り扱い問題

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堀田さんの発端ツイート

量子力学の無限井戸問題で混乱させるTWがあるようなので、改めて書いておきます。初等教科書の古い取り扱いは物理学の立場では問題です。

RT 他の可能性あっても「現実的には」初等教科書の取り扱いでおk、そんなにヤバくないというのが私の(というか料理切り額の関数解析やってる人共通の)意見です— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

次の過去記事で言及した話題に関する話だろう.
せっかくなので記録しておく.
堀田さんの量子力学の本, このあたりの話もしているのだろうし,
来年出るという話なので楽しみにしている.

参考: 過去記事

ツイート引用

量子力学の無限井戸問題で混乱させるTWがあるようなので、改めて書いておきます。初等教科書の古い取り扱いは物理学の立場では問題です。

RT 他の可能性あっても「現実的には」初等教科書の取り扱いでおk、そんなにヤバくないというのが私の(というか料理切り額の関数解析やってる人共通の)意見です— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

まず最初に、量子力学の関数解析に対する数学と物理学での価値観の差を書いておきます。 pic.twitter.com/AjxIOvz3IJ— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

数学では、言わば1つ1つの自己共役演算子が主役で、それが作用する状態空間は脇役です。1つの演算子ごとにそれが作用する状態空間を決めています。ですから演算子毎に、それが定義される状態空間は異なっても良いのです。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

一方、物理学徒の皆さんはもう実感があると思うのですが、物理学では状態空間が主役で、それに自然に作用できる自己共役作用素が脇役です。1つの共通した状態空間が、そこで意味のある物理量の演算子の集合全体を決めるという順序で考えます。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

この辺, 一応言うだけ言っておくと, 物理の人間が「ハミルトニアンは自己共役たれ」と言ったから, というのが数学サイドの言い分だろうとは思う. これもさらに言えば, 自己共役たれと言ったのは厳密にはフォン・ノイマンであって数学者だ, 物理学者のせいにするなという話でもあるのだろう.

話は少し変わってしまうが, 私のスタンスは完全に数学のサイドのそれだという立場は明らかにした上で, 物理なんなりがこういう「二枚舌」を平然と使ってくる中で「数学者の書く本は気持ちが書かれていなくわかりにくい」とか言われても「お前ら正気か」というのはよく思う. そもそもとしておかしな記述が長く残っていてそれを語り継ぐ種族にとっての気持ちやらわかりやすさやらは何なのか, まずきちんとさせてから数学に文句を言ってほしい.

本題の引用に戻ろう.

では具体的に無限井戸問題を、数学と物理学の立場で考えてみましょう。 pic.twitter.com/Gic8SxYXl6— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

数学の立場では例えばハミルトニアンという1つの演算子を主役にして、それが自己共役になる状態空間は何かと考えます。その結果の1つがΨ(0)=Ψ(a)=0です。数学では稠密性なども考える必要があるのですが、基本的にはこの条件を満たす関数空間でハミルトニアンが自己共役であることが確かめられます。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

しかし物理学の立場で言うと、その状態空間には不満足な点があるのです。単に壁の両側で波動関数が消えるという条件ならば、下記の2次関数はその条件を満たし、物理的な状態を表すはずです。しかし問題が起きます。まずハミルトニアンを2回作用させてみましょう。 pic.twitter.com/Zeg4JPrVfc— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

するとハミルトニアンの2乗の期待値を計算する時に、計算の方法に依存して答えが変わってしまいます。ハミルトニアンを作用させた関数のノルムは非零なのに、それに一致すべきハミルトニアンの2乗の期待値は零のように見えて、物理的に変なわけです。普通の意味でのエルミート性が壊れているわけです。 pic.twitter.com/iZdBC0OLNp— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

しかし数学ではこの点は問題視されません。それはハミルトニアンに対する状態空間とハミルトニアンの2乗に対する状態空間は異なって良いからです。数学者にとって先の変な計算結果は、ハミルトニアンの2乗に対して良い状態空間ではなかったことを意味するだけです。 pic.twitter.com/nd5o6vSuiO— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

数学者はハミルトニアンの2乗という演算子に関して、別個に状態空間を考えます。それは1乗の演算子に比べて厳しい条件で指定されますが、その狭い空間のおかげで2乗演算子も今度は自己共役であることが示されます。 pic.twitter.com/I748bOSiji— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

ところが物理学では、そうはいきません。ハミルトニアンを測定して1つの値を得たら、自動的にハミルトニアンの2乗やハミルトニアンの関数の値も同時に観測されたと解釈するのが、物理学者ですから。 pic.twitter.com/lAZd9HKyx5— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

ここがよくわからないというか, そういうのがどの本・論文にいつどう書いてあったのかという気分がある. そもそもとしてこう考えたい物理の気分もよくわかっていない. 気持ち, どこに書いてあるのだろうか. 実験のセットアップ問題から来ている気分はあるがむしろそれこそ何もわからない.

ですから物理学者の立場では、無限井戸問題の状態空間は古い初等的教科書にあるようなΨ(0)=Ψ(a)=0という条件だけ決まるというのは、やはりおかしいのです。偶数回微分した関数も壁で消えなくてはいけません。Ψ(0)=Ψ(a)=0しか書いていない教科書の内容は、今後書き直される必要があります。 pic.twitter.com/00oiuO1pXo— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

ただし幸いにも、Ψ(0)=Ψ(a)=0だけでなく任意の偶数回微分も消える条件を課しても、無限井戸問題のハミルトニアンの固有関数は古い教科書と同じになります。ですから答えの形の修正はしなくても済みます。 pic.twitter.com/PmzRXNPN2Y— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

超関数の空間あたりで考えるときちんと動くのか, みたいなことは気になる.

また偶数回微分まで消えるよう条件を課した状態空間でのハミルトニアン固有関数の完全性も独自に証明できます。 pic.twitter.com/ouqKLvwhU7— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

それは井戸の幅の倍の長さのリングを考えて、フーリエ級数の定理を使うと示せます。 pic.twitter.com/3urLBZibjs— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

証明の概略は下記のような感じです。 pic.twitter.com/0Y2ZKkle3f— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

pic.twitter.com/Oo4Os53rx7— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

pic.twitter.com/eT2P4tzpEZ— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

ここでの完全性, どの空間で議論しているのかがまずわからない. そもそもとして私は完全性はヒルベルト空間上でしか議論したことがないので, 数学的な感覚が掴めていない. フーリエ解析も正直さほどよくわかっているわけでもない. 何がしたいのかよくわかっていないので, 内積はありつつ完全性だけはうまく動く空間, どこだろうか. どこでどういう収束を考えるといいかもよくわからない.

物理学では状態空間が主役である主な理由は、確率解釈です。区別できる量子状態への遷移確率を計算する状態空間が最初にあり、独立事象の各直交状態に対して物理量の値を割り振るという順序で、物理量演算子は定義されるからです。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

ちなみに有限井戸ポテンシャル問題を先に考えて、無限極限をとる方法もありますが、そのときに無限井戸極限でも壁に構造を持たすことができます。 pic.twitter.com/cv98tMy4tO— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

例えば普通の無限井戸問題では固定端であるディリクレ条件を課しますが、壁の構造を調整した無限井戸の場合は、開放端であるノイマン条件の解も許されます。 pic.twitter.com/Lj1r2fsyRU— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

この場合の固有関数はsin関数ではなくcos関数ですが、その固有関数の完全性も、前と同様にフーリエ級数の定理で証明できます。 pic.twitter.com/6rUXGZ0hAv— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

証明という言葉に対する気分が根本的に違うというのは感じる. いつものことではある. 悪い意味での「お気持ち」問題ではあり, 意思疎通を困難にする部分ではある. お互い敬して遠ざけるべきという気分もある.

追記:なお問題を起こしていた先の2次関数は、2階微分が壁で消えないため、ハミルトニアンの2乗の期待値の計算でトラブルを起こしたのですが、それは正しくは状態空間に属さない関数だったという「オチ」になります。 pic.twitter.com/osSxh0BVwN— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

Leipzig さんとの大事そうな質疑応答の記録

何にせよここのやりとりで状態の方が大事というのは察した.

先生のツイートを読んで、1つ理解が不十分な点があります。教えて頂ければ幸いです。すべての偶数階微分が境界で消える関数の集合をDで表します。先生の形式では、Dの要素をDの中にうつす演算子のみが無限井戸で意味を持つ演算子、という理解でよろしいでしょうか。— Leipzig (@Leipzig_math) November 16, 2020

もしそうだとすると、位置演算子はDの要素をDの中にうつすとは限らないので、位置演算子は無限井戸で意味を持たない、という結論になってしまうと思います。これは物理的には問題ないのでしょうか。— Leipzig (@Leipzig_math) November 16, 2020

「Dの要素をDの中にうつす演算子のみが無限井戸で意味を持つ演算子、という理解でよろしいでしょうか」ええ、その通りです。「位置演算子は無限井戸で意味を持たない」これも普通の座標演算子は意味を持たないということで合っております。しかし位置に相当する別な演算子は作れます。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

普通の位置演算子は波動関数Ψ(x)にxをかける操作です。つまりΦ(x)=xΨ(x)という関数を作りますが、Φ(x)の2階微分はx=0とx=aで一般に消えません。つまりΦ(x)は物理的な状態空間の外に飛び出しています。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

しかしある極限で、井戸の中の位置演算子を意味する別な演算子を作ることができます。それにはまず井戸の中のある位置に局在する波動関数を作る必要があります。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

以前のスレッドのこのページで示した完全性を意味する上式から、その関数は読み取れます。https://t.co/YmC70zNxcS— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

普通の実数空間では粒子がある位置xoに局在する波動関数はδ(x-xo)です。そしてこの関数は物理量の固有関数の位置表示の右辺に出る単位演算子Iの位置表示として得られますよね。<x|I|xo>=δ(x-xo)と言う形で。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

ところが無限井戸での<x|I|xo>は、このページの上式の右辺に現れたデルタ関数の和の差となります。https://t.co/YmC70zNxcS— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

位置xoに局在した波動関数が分かっているので、単純に思うとそれにxを書ければ位置演算子の座標表示が得られるようにも思えますが、これでは普通の位置演算子と同様に状態空間の関数に作用すると、できた関数の2階微分はまた消えません。 pic.twitter.com/u8pSvAU545— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

そこで極限で無限井戸の位置演算子になれるようにします。xの関数であるX(x)を導入して、極限で下記のような性質を持つようにすれば、2階微分は消えます。つまり壁の近くだけでその固有値が変形される位置演算子を考えようということです。物理としてはこれで十分だと思うわけです。 pic.twitter.com/LU9U5mz6Va— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

そこで極限で無限井戸の位置演算子になれるようにします。xの関数であるX(x)を導入して、極限で下記のような性質を持つようにすれば、2階微分は消えます。つまり壁の近くだけでその固有値が変形される位置演算子を考えようということです。物理としてはこれで十分だと思うわけです。 pic.twitter.com/LU9U5mz6Va— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

物理としての量子力学では、実は観測される固有値はさほど重要ではなく、それより完全性と直交性をもつ固有状態の存在が量子測定という視点からは重要なのです。固有状態が測れれば、その名前の付け方としての固有値は便利なものを選択すれば良いのです。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

無限井戸でも位置xoに局在した固有関数は定義されているので、各固有関数に対する固有値を適当にとれば、位置演算子はいろいろ作れるということになります。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

お返事をありがとうございます。まずはゆっくり考えてみたいと思います。— Leipzig (@Leipzig_math) November 16, 2020

ありがとうございます。何かありましたらご連絡ください。

なおX(x)という関数ですが、x=0からx=aまで単調増加関数で、x=0とx=aでX(x)
の奇数階微分が全部消えるという性質さえあれば、物理屋は困ることがありません。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 16, 2020

これ, 何の固有状態を考えているのかがまずよくわからない. 何にせよ空間の設定がよくわかっていない. 来年出るという堀田さんの本, 非常に楽しみにしている.

Yuki Nagai さんとのやりとり

輪をかけてよくわからないがとりあえず収集.

やりとりその 1

ここでいう物理屋が、自分の想定する物理屋と多分違うんだろうな。ハミルトニアンの二乗の話する前に「本当の境界条件はそのさき全部無限大なのに一つの境界条件にしたからおかしくなった。その解はなし」とすると思う— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

「本当の境界条件はそのさき全部無限大なのに一つの境界条件にしたからおかしくなった。その解はなし」という意味を正確に理解したいのですが、もう少し具体的に説明して頂けると助かります。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

微分方程式を差分化してその差をいくらでも小さくできる素晴らしい計算機があったとして、その場合の境界条件は、井戸の外を考えない、になりますからその先全部無限大ということになります。ただまだ整理ついていません— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

やりとりその 2

よくわかってないんだけど、無限井戸型ポテンシャルってそれより先全部無限大みたいなものだから、その境界から微小に外に出た波動関数も0で、それで「はいその解だめ」で終了じゃいけないのだろうか— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

それならば普通の固有関数であるsin(nπx/a)も除外されませんか?x=0でx(x-a)もsin(nπx/a)も大して変わりませんよね。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

確かにそれはそうですね。あれ?
全ての微分がゼロだとどんな解もだめになりますね。差分化すればわかりそうです— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

有限井戸を先に考えて、その束縛状態のみを扱って極限をとるのが自然かとは思います。その場合でもポテンシャルの極限の取り方に自由度があるわけですが。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

数値計算として問題を解いた時にどうやきなおせるかを考えています。数値計算なら井戸の外側を考えないことにするので無限大ポテンシャル考えていることになりますよね。その時にsin関数がオーケーな理由について考えていました— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

数値計算では有限井戸からの解析が良いかなと思っています。— Masahiro Hotta (@hottaqu) November 9, 2020

それはわかるのですが、計算機では無限空間を考えられないので、周期境界でなければ、無限大ポテンシャルを考えていることになりますよね。そことの整合性につい
考えています。もう少し考えます— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

ShunSakana さんとのやりとり

これもよくわからない.

よくわかってないんだけど、無限井戸型ポテンシャルってそれより先全部無限大みたいなものだから、その境界から微小に外に出た波動関数も0で、それで「はいその解だめ」で終了じゃいけないのだろうか— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

個人的には、境界の外の話より、波動関数の微分可能性の方が気になりましたー
その波動関数微分できないけどSchroodinger方程式満たすの??的な。。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

微分できない微分方程式の解概念じたいは数学としてはどうとでもなるというかどうにかするから, そこは問題ではないのでは感. むしろそこは物理で気にところなのかというのが衝撃でさえある.

それも気になりますね— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

たぶん微分が可能ではないので、そもそも差分近似が成り立たず、無限井戸型の問題を差分法で「そのまま」解くことはできないんだと思います。
で、これを無理やり解くために、差分の定義を変えて「井戸の中の閉じた空間だけでの演算を考える」ことにしたのがnagaiさんの考えてる差分法なんだと思います— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

無限大ポテンシャルがたってる場所は確かに微分定義できませんが、微小にずれた場所では定義できるのでなんとかなりませんかね— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

微小であっても無限井戸側にはみ出した瞬間にハミルトニアンの演算が定義できなくなるので、井戸側に微小でもはみ出した波動関数が定義できなくって、差分で近似できないんだと思います。なんとなく微小という概念が入り込めないシャープな発散があることが問題で差分近似できない気がします。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

うーん、差分近似できないならなぜ数値計算で問題が解けている様に見えるんです?
微小に内側にいる点の自分を定義したときに、境界での波動関数がゼロ、とおくことを数値計算でやるわけですが、その場合境界値がゼロしか使ってません。前進差分でも大丈夫なようにするならそこ以降全部ゼロになります— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

おそらく、nagaiさんのおっしゃる差分法は「普通の微分の差分近似」ではなく「境界の外ではn階の微分すべてがゼロになる差分近似」という感じで「微分」という演算を「今考えている空間だけで閉じた新たな演算」に置き換えた計算をしていることに対応していることになると思います。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

いえいえ、そんなことないですよ。数値計算するときにやりますが、波動関数の値自体をゼロにするだけで定義できます— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

正に、その操作が「普通の微分」の定義を変更して「考えている空間内で閉じた新たな演算」に置き換える操作だと思います。一次元の差分の行列を考えた時に、通常の微分だと考えている領域の外側の情報まで必要ですが、これを「手で落として」新たな演算を再定義することに対応していると思います。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

うーん、よくわかりません。話の最初に戻るのですが、手で落としてるわけでなく、境界条件が外側全部で波動関数ゼロなので、境界条件から自然に定義されます。微分方程式を差分化して解こうとすると、通常の差分の定義をしたあと境界条件代入するだけで出ます— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

例えば、今f(x=0)=0の境界条件を課しているときに、ハミルトニアンHを演算したH*f(x)という関数のx=0での値はどうやって決まっているのでしょうか。
ここではH*f(x)|_{x=0}=0で定義していると思うのですが、これは微分から来る帰結ではなく、「手で」演算を再定義していると思います。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

あー、なるほど!私はx=0でのいかなる演算も考えてません。その隣の点しか考えてなくて、その内側の点の微分演算子に出てくるx=0の波動関数がゼロ、って考えてます。もしx=0を考えたければ、x=0で差分化して、さらに外側ゼロです。極限はそのあと取ります— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

x=0(井戸の端)での演算を考えないとSchrodinger方程式が解けない気がします。。
無限の井戸だと、井戸の端(x=0)で境界条件を課すと、そこでのハミルトニアンの演算(特に差分近似では)が普通の意味では定義できないので、演算子自体を手でいじってH*f(x)_{x=0}=0と再定義している気がします。。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

実際解けてるんですよね。多分極限の順番の問題のように思います。もし世界が離散的な点からできていたとしても問題が起きないようになっている気がしています— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

あ、ぼくが言いたいのは実際に解いてる問題は、上のような感じで演算を再定義したものだということを言いたい感じです。。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

うーん、定義してますかねえ— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

長かったのでこっちに付けたしました。。https://t.co/khU9t7qbhB— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

切り出されたやりとり

例えばべき乗法で基底状態を計算するとして、h*f(x)|_{x=0}が定義されていないとべき乗法が破綻してしまいます。これは、暗にh*f(x)|_{x=0}=0を仮定した新たな演算(微分とも差分とも違う)を使っていることに他ならないと思います。。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

なぜ破綻するんです?— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

例えば、h*f(x)という関数を求めた時、h*f(x)|_{x=0}の値が定義されていないと、h*[h*f(x)]が定義できなくなって、べき乗法が破綻しませんか?— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

ハミルトニアンは無限に近く大きい行列から定義されているので常にx=0での値も計算できます。波動関数の方がゼロになっているだけなので。— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

途中からの派生

考える極限の順番が逆なんです多分— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

たぶん、そうかもです。僕は、矩形の井戸型を考えているので、そもそも「微小」というのが定義できないと思っているんですが、nagaiさんは何となく井戸の変化に対して「微小」な量を定義できるという前提で話しているのかもですね。。
そんな気がしていました。。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

途中からの派生

いえ?非常に多い数Mの差分点からなるベクトルを考え、境界条件でその内N個だけ有限であと全部ゼロとします(境界条件)。次にM次元ハミルトニアンを差分化します。作用させます。べき乗法になります。— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

えっと、ここでのM次元というのは無限の井戸の無限側に足を突っ込んでいて、そもそも演算が定義されていない領域ではないですか?— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

なぜ演算が定義されていないのですか?シュレーディンガー方程式は運動量の項Tとポテンシャルの項Vがあり、運動量の項TがVによって定義できなくなるという意味です?私は一度も「演算が定義されていない場所がある」とは言っていないです— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

なるほど。私は差分化しているからポテンシャル無限大入れているんですよ。だから定義されないことがない— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

わかってきました。「井戸型ポテンシャルの問題を考えてから差分化する」と「シュレーディンガー方程式を差分化してから井戸型ポテンシャルの境界条件を考える」の違いですね— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

なるほどです。ここから、何となく無限の井戸を差分で解くことを考えているのかと思ってしまいました。。https://t.co/bWsKNHTCqi— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 10, 2020

今気がついたのですが私は常に無意識に「先に差分化してから」考えていることがわかりました。— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 10, 2020

途中からの派生

何となく、Vが無限大の所では演算が定義されていないと思って話をしていました。
何となく、f(x)は有限の値を持った発散していない関数の空間を考えていると思うので、Vが発散しているとその空間からはみ出すのでそこでは演算は定義されていないと考えていました。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 9, 2020

ふむふむ。そこが違いですね。私は「世界は実は差分化されてるんじゃない?」過激派かもしれません。何より先に舞台を差分化してから条件を入れるので…— Yuki Nagai (@cometscome_phys) November 9, 2020

僕はそこまで過激ではありませんが、少なくとも微分不可能だったり発散したりはしてないはずなので、無限井戸など人工的な問題はともかくとして、自然の問題は差分近似できるだろう、くらいで考えています。。— ★さかな★@唐揚げチーズバーガー?? (@ShunSakana) November 10, 2020


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