$p$-進ゲルファント-マズールの定理は成り立たない (否定が常に成り立つ: 常に拡大できる)

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結論に関わる p進大好きbotさんからのコメント

以下の Twitter でのやりとりによる.

R,C以外の任意の完備付値体でゲルファントマズールの否定が成り立つ(常に拡大できる)ということが知られてます。テイト代数のガウス点というものを使います。— p進大好きbot (@non_archimedean) December 20, 2020

ありがとうございます。どの本を読むと(ある程度基礎から)書いてあるでしょうか?— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

セミノルム付き群から書いてある教科書は
Bosch, Guntzer, Remmert
通称BGRですね。でも結構一般論が続くので、
・飛ばし読みをする
・他の本を読む時の辞書にする
が多い本だと思います。— p進大好きbot (@non_archimedean) December 20, 2020

上で教えてもらったのは次の本.

覚えておこう.

事の発端と関連ツイート

次のやりとりを見て, そもそも位相体の議論はゲルファント-マズールの定理しか知らず,
$p$-進ならもっといろいろあるだろうと思ったことによる.
まずは事の発端に関するやりとりをまとめよう.

事の発端ツイートまとめ

https://t.co/MwfrYqGdAQ 積が不連続というの、どんな位相で考えているのだろうか。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

これ、回転で-1になることを角度による連続的な変化と捉えているのだと思うが、実数での-1も+1から徐々に小さくなっていって負になって、という連続変化で対応させるので、自分が何を言っているのかわかっていない感じがあって厳しい気持ちになる。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

たしかにご指摘の通りです。×1から×-1の場合は×0を通して繋ぐこともできるのですが、÷1から÷-1の場合は÷0という未定義な操作が挟まれてしまうので、回転で繋ぐ方が良いのかなと。射影空間なら問題ないのかもしれません。— 手塚太郎 taro_tez (@taro_tez) December 20, 2020

私の知る限り射影空間には演算が定義されていないのですが、何の話をされているのでしょうか
i— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

一応書いておくと、複素平面での回転に関してはいわゆる多価性の問題が出てくる場面もあり、割り算(一般に「商」とつく議論)自体がかなり面倒な概念なので回転に置き換えてもまた別の問題が噴出して簡単にはなりません。代数と位相のマッチング問題と見てもそれで本一冊になる話です。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

割り算と言わなくても物理ではスピノルにまつわる話もあり, 回転まわりには面倒な話がいろいろある. それだけ面白いとも言える.

位相体, 特にゲルファント-マズールの定理に関する話

https://t.co/ezeN028Y5p 位相体に関して私が知る限りゲルファント-マズールの定理があるが、距離に対する完備性を外した場合とp進にした場合の結果はどんなのがあるのだろうか。そもそもとして位相体自体をほとんど何も知らない。p進についてはp-adic Gelfand-Mazurでさっと見て何も引っかけられない— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

ゲルファント-マズールそのものの拡張でなくても、素人が思いつく程度のことに関しては否定的な結果含め、絶対何かあると思うのだが、探せない。位相群はよく聞くが、位相環・位相体の話は独立して聞く機会が私はほとんどないので本当に何もわからない。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

https://t.co/r7r8L1CzuA 可換なネーター環とバナッハ環が同時に出てくる本、初めて見た。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

これ、今もう少し見たらp進の場合はもう少しよくてTate algebraがあるとかいうのがあった。これか。それはそれとして、可換でネーターなバナッハ環が有限次元とかいうの、めちゃくちゃそれっぽそう。ネーター強い。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

市民のための解析学からの代数入門みたいな本、ないだろうか。作用素環の基礎くらいまでは仮定していい。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

勝手にわがままなことを言い募ると、加群と表現論みたいなところから代数に関して面白おかしい話をしてくれる本が欲しい。1つ明らかにあるのは堀田本でD加群方面にまで吹っ飛んでいくのでアレは1つ理想郷ではある。ただ本物のD加群は修羅の道なので市民には厳しい。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020

竹崎先生も言っていたのだが「代数は必ずしも1つ1つは難しくはないがそう思っているといつの間にか下を見るのが怖いほどとんでもなく高いところに連れていかれる」感じがある。ホモロジー代数は図式を書くので割とこう一発一発が重くなる気分はある。— 相転移P (@phasetrbot) December 20, 2020


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