証明を計算問題にする/相転移プロダクション

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今週のコンテンツ

今週の公開コンテンツとしてはこの記事/動画だけです.
裏で猛スピードで幾何系のノート作りをしつつ,
数学・物理のための語学という感じのコンテンツを作っています.
数学方面はしばらくノート整理で動けない (楽しくて他が手につかない) です.

ちなみにクローズドの統計勉強会では黒木さんのコンテンツを勉強しつつ,
これらをプログラミングも込めて順番に勉強していけるように整理・整備しています.

雑に勉強していたのを気合入れてやりはじめたので,
少しずつ細部の様子が見えてきました.
自分の勉強の記録にもなるので,
焦らずきっちり整理していこうと思っています.

証明を計算問題にする

つい先程, Twitter で森の未知さん (若手の数学者) とちょっとした会話をしました.
次のツイート周辺の会話です.

ちょっと進んだ数学の分野の馬鹿みたいな計算練習がやりたい。

実際こういう問題を作る必要は教員として感じるんですよね。
例えば写像の逆像の計算問題とか。

いま私が欲しいというか作りたいと思っているのは、色々な定理の証明それ自体をいわゆる論理の部分を問題の小問で分解して、計算をさせるタイプの問題です。証明の流れを概観できる利点もあります。小さなclaimに分けるみたいな気分で。YouTubeに流せるミニコンテンツを作ろうという気分もあります。

最近途切れている YouTue での線型代数や力学のコンテンツはここへの布石でもあります.

とりあえず細かいところは気にせずゴリゴリ計算するだけの動画にしかなっていませんが,
これだと 1 コンテンツ・1 動画が長くなりすぎることもわかりました.
見るのも作るのも大変なので自動小分け法としても上のアプローチは大事と思っています.

森の未知さんのコメントにもあるように,
集合や位相を計算ドリルの手法で勉強するというのは大事です.
新しく問題それ自体を作るのはけっこう大変ですが,
証明それ自体を計算問題化するのなら上にいったように小さな
claim をつむげばいいので大分楽になります.

どの分野でも適当な計算練習が必要です.
数学は証明というか論理が強く出がちで一般には計算が軽視されている雰囲気を感じます.
しかし代数や幾何であっても一定量の計算は絶対に必要です.
ホモロジー代数の可換図式の処理なども「計算」です.

すぐにはコンテンツは作れませんが,
もしあなたが数学の本を読むのに苦労しているのなら,
証明を計算に分割できるように工夫するとだいぶ読みやすくなると思います.
ぜひ工夫してみてください.
いつになるかわかりませんが, いつかはやる予定です.

いっそどなたかやってくれないでしょうか?

幾何の勉強について

最近は語学コンテンツ作成と幾何ノートの整理の合間にちょこちょこ統計をやるという感じの生活です.
大分前から超弦理論や一般相対性理論での必要性からか,
幾何を勉強してみたい人が一定数います.
どういう感じで作っていくといいかを考えるため,
2年くらい雑な勉強をしながら方向性を探っていました.

もういい加減四の五の言わずに具体的にノートを作りつつがっつり勉強しようと思って作りはじめたら,
当然のように今までより遥かに理解が深まってきたので,
2年をドブに捨ててしまった気分になっています.

それはそれとして大雑把に掴んできた気分はあるので,
具体的な話と絡めながら幾何の勉強をしたい人向けのコメントをしようと思います.
基本路線として, 私は学部が物理, 修士で解析学専攻なので,
数学的背景としては一般理工系の人達と共通部分が多く,
もしあなたが幾何の勉強をしてみたいと思っているなら参考になるはずです.

結論から言うとがんばって関数論をやろうという方向でいま考えています.
これに向けて話を展開させます.

まず線型代数と微分積分を軸に計算練習しながら幾何に挑むなら,
小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』に代表される古典的な微分幾何でのアプローチはあると思います.
最近, 工学でも幾何の需要が高まっているとかいう話もありますし,
とりあえず幾何らしい話はできます.

ただ, 数学としての微分幾何との距離が恐ろしく遠いように感じます.
リーマン幾何につなぐ構成の本もありますが,
あまり接続の仕方がよくないように思います.
いわゆる第1基本形式 (リーマン計量) と,
それを E,F,G などで書くまさしく古典的なスタイルがあり,
記号として計量の記号は導入してはいますが,
何かこうリーマン幾何や多様体論とのつながりが私にはうまく感じ取れない本ばかりという気分です.

逆にベクトル束の微分幾何・リーマン幾何の一般論をある程度やったあと,
曲面論に落としてくる流れでようやく古典的な曲面論の幾何がようやく掴めたくらいの気分があります.
これはそもそも私は幾何系の感覚が薄く弱い上,
本腰を入れて勉強をはじめたのがベクトル束からだから,
という異様な勉強順序が理由だと思います.
何にせよ微分積分と線型代数の計算練習に幾何的な直観を載せるにはいいと思うのですが,
多様体論などのいわゆる現代数学としての幾何につなげるのは私には厳しかったというのがあります.
あとリーマン幾何などをやっていると,
多様体の位相と曲率などで基本群が突如出てきて,
この辺の勉強が雑なままなので結局気分を掴み切れない部分がまだあります.

そこで何を選んだかと言えば関数論です.
多変数だと層のコホモロジーの母胎でさえある分野ですし,
その中でネーター環といった可換環論の基礎的な部分も出てきます.
解析学としてもディーバー方程式などのアプローチがあり,
代数・幾何・解析が多方面からモチベーション豊かに勉強できてやはり本当にいいとつくづく感じています.
実際, 次のノート作りのターゲットはここです.

次という以上, いまは違うところをやっています.
それが何かというとリーマン面,
つまり1変数の関数論です.
リーマン面自体が超弦理論などで本当に出てくるというのもあります.
しかしそれ以上に重視しているポイントがあります.

まず物理学科では留数定理などの計算の道具として勉強しますし,
関数論ユーザーとして一定の土地勘があります.
実際問題として関数論がカリキュラムに組み込まれた理工系の学科は少ないように思いますが,
ふつうの微分積分・ベクトル解析からの発展として勉強しやすい分野とは思います.

他には解析接続のような, よく聞く格好よさげな話の終着点として出てくる分野であることです.
私も複素多様体のような方面の方がかえってきちんと勉強する機会が多かったくらいで,
実はあまり真面目に勉強しきれていません.
そしてこの筋を追いかけると,
多変数と違ってホモトピーの基本的な話を総ざらいする必要が出てきます.
ホモロジー・コホモロジーはいたるところで出てきますが,
ホモトピーが私にとって解析学と絡めて気分が掴みやすい形で出てくるところがいまだにわかりません.
その数少ないというか唯一の分野です.
関数論なのでコホモロジーは当然のように出てきます.
その意味で解析学からの位相幾何入門としてもかなりすぐれた分野なのではないかと見ていて,
その検証のために本腰を入れた勉強をはじめたところです.

他にもジュリア集合やら何やら複素力学系との関係もありますし,
これはプログラミング・お絵描きと絡めて遊んでみたいテーマです.
代数曲線論として代数幾何への入門として機能する部分もあります.
さらにリーマン面自体いまでも研究されているほど汲めども尽きぬ分野です.
楕円関数論などの議論もあり,
単品でも面白くこれまた代数幾何入門としても機能するテーマがあります.
これだけでも一生遊べる分野です.
複素領域での常微分方程式論といったテーマもあります.
いい加減きちんとアタックするべきだろうと思い,
手始めにふつうにリーマン面を基礎から勉強しているのが今のフェーズです.

本当は幾何系の話をもっといろいろ書こうと思っていたのですが,
リーマン面への導入だけで尋常ではないボリュームになってしまいました.
幾何系の勉強のヒント話は来週も続ける予定です.

ではまたメールします.

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