高校数学での有理多項式の処理: 特に係数の決定問題に対するいろいろな数学的知見

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はじめに

現代数学探険隊に収録している現代数学ビギナーズマニュアルの中の記録です.
Twitterまとめのひとつで,
私が見やすいように編集しています.
マクロ定義つきのTeXによるPDF化を前提にしているので必ずしもWeb上で式が的確に表示されるわけではありません.
特に次のあたりのツイートをまとめています.

発端から

今日、高校生に数学を教えていて、生徒がやらかした解答。
答えは合ってるんだけどね…。
でも、独学で勉強していると、こういう間違えに気づけないことがあるんだよね。答えは合っているからなおさらたちが悪い。

\begin{problem}
等式 $\frac{2}{x^2 – 1} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1}$が $x$についての恒等式になるように定数 $a$,
$b$の値を求めよ.
\end{problem}
\begin{sol}
両辺に $x^2 – 1$をかけると $2 = a(x+1) + b(x-1)$が得られる.
これは $x$についての恒等式だから $x=1$を代入すれば $2=2a$から $a=1$が,
$x=-1$を代入すれば $2 = -2b$から $b = -1$が得られる.
\end{sol}

「正しい」という、ご意見を頂いたので、自分がどこを間違えているのかをご教授して頂けると助かります。
自分の中で間違いのところは「問題文の恒等式にx=1やx=-1を代入すると分母=0となる」ところです。
他の値を代入するのであれば、問題ないと思うのですが…。

これに対する鴨さんの解答が一番すっきりしているでしょう.

この証明に瑕疵はありません。こういうことです:

有理関数として等しい$\Leftrightarrow$有理式体の元として等しい$\Leftrightarrow$分母をはらったものが多項式環の元として等しい$\Leftrightarrow$多項式関数として等しい$\Rightarrow$特定の点で関数値が一致する.

高校生がそこまで考えているはずがないとのいちゃもんが元TWとは別人から出てくることを危惧。

ちなみに多項式, つまり$\bbR[x]$の元としての等価性と多項式関数としての等価性が成り立つのは無限体の場合に限るという定理があり,
高校数学の話として$\bbR$または$\bbC$係数を仮定した議論です.

念のため例を挙げると多項式$f(x) = x(x-1)$は多項式として$f \neq 0$である一方,
有限体$\bbF_2 = \bbZ / 2 \bbZ$上の多項式関数と考えると,
全ての$x \in \bbF_2$で$f(x) = 0$です.
これは有限体の特性でふつうの高校数学では気にする必要がありません.

こういう話もあります.

これ、すでにしつこく書いたのことですが、最初の式で分母が0になるからこそ、「$x = \pm 1$を使うといいことがあるだろう」と考える方が数学に慣れていれば普通だと思います。
直接代入するのは無理でも、分母を払えば代入できる。実際に計算もシンプルになっています。

瑕疵の有無に特に注目すると数学的につまらない話にしかならないのですが、分母が0になる極の位置に注目することが様々な御利益を生み出すという話にすれば、数学的に面白い話になります。
面白い話になるのに誤り扱いにして潰すのは非教育的。
分母を払った$2 = a(x+1) + b(x-1)$を得た後であっても、$x$に直接$\pm 1$を代入することにどうしても抵抗があるなら(笑)、
$x$を$\pm 1$に近付ける極限を考えれば良いと思います。
$x \to 1$とすると結果的に$x$に$1$を代入したのと同じ結果になる。
色々な考え方をして納得の仕方も複数あると気付けばよいと思います。

「$x$を$1$に近付けたときにどうなるか?」という発想であれば、
元の$2/(x2-1)=a/(x-1)+b/(x+1)$の段階でも可能です。
両辺とも発散が$1/(x-1)$の定数倍のオーダーで起こり、その定数倍部分の比較で$a$が求まります。
まずは教える側がこういうことを理解していることが大事。
特に大学受験での数学の試験のアドバイザーの仕事をする人は、
採点する側が保有している数学の知識やセンスに通じている方がよいと思います。

加藤文元さんのツイート

このツイートからのツリーです.

完全に正しい解答を「やらかし」だとしてバツにしちゃったというツイートを見た。
やっぱり、高校数学を教えるにも、ある程度は抽象代数の学識が必要だよ、とつくづく思った。

  1. 整域Aの要素$a,b,c$($a \neq 0$)について、
    $ab=ac$であることと$b=c$であることは同値です。
    特に$A$の商体$K$において、$b/a=c/a$であることと$A$において$b=c$であることも同値です。
  2. 実数上の多項式環は整域です。
  3. $a$を実数とするとき、実数上の多項式$F(x)$に対して「代入」$F(a)$を対応させる準同型が定まります。
  4. 一般に体$K$上の0でない多項式$F(x)$が$n$次なら、 $F(a)=0$となる$K$の要素$a$は高々$n$個しかありません。
    これは多項式環の性質(因数定理)を用いて証明されます。
    従って、$n$個より多くの$a$について$F(a)=0$となるなら、$F(x)$が0という多項式だということになります。
  5. $K$上の多項式$F(x)$が$K$において恒等的に0であるとは、
    どんな$K$の要素$a$を代入しても$F(a)=0$となるときだとしましょう。
    上記4で見たことから、$K$が無限個の要素を持つ体なら、$F(x)$が$K$において恒等的に0であることと、
    $F(x)$が0という多項式であることが同値です。
  6. 一般には、$F(x)$が0という多項式であれば$K$において恒等的に0ですが、
    逆は($K$が有限ならば)一般に真ではありません。
    しかし、$F(x)$の次数が高々$n$だと分かっていれば、$n+1$個の値を代入して0なら$F(x)$は0という多項式になるので、
    特に恒等的に0です。
  7. 特に、式の形から高々1次式とわかっている状況なら、2つの値を代入すれば十分です。
    (以上の議論からもわかるように、逆のチェックも本質的には必要ありません)

高校生がここまで理解して解答するべきと言っているわけではありません。
このように完全に正しい議論になっているのでバツにすることはできないということです。
また、高校数学の範囲外のことで議論してもナンセンスだというのも正しくないと思います。
高校数学も普通の数学なのですから。

補足があります.

こうは言いましたが、高校数学で多項式という概念と多項式関数という概念の区別がめちゃくちゃなのは、
要するにむかし高校数学の基礎を作った数学教育の御用学者か行政の担当者が、
ここのところをわかっていなかったからなのでは?と疑っています。
そのおかげで、今でも多くの人が誤解しているわけで…

黒木さんの長文

これは黒木さんのツリーです.
メインが黒木さんのツイートなので引用(TeX生成のPDF上では字下げ)は外します.
長いので全部は収録していません.

多項式$f \in \bbR[x]$に「$a \in \bbR$を$f(a) \in \bbR$を対応させる函数」を対応させる写像は単射なので、
多項式$f$とそれに対応する実数の函数を区別しなくも大丈夫。(無限体でもOK)
有限体$F$上の多項式$g \in F[x]$に「$a \in F$を$g(a) \in F$を対応させる函数」を対応させる写像は単射でないので、
それらを同一視できない。
例えば二元体$\bbF_2=\cbk{0,1}$($1+1=0$)について、
$\bbF_2$上の多項式として$x$と$x^2$は異なるが、
$\bbF_2$上の函数としてはどちらも恒等写像になって等しくなってしまう。
$x$と$x^2$を$\bbF_2$の2次拡大$\bbF_4 = \bbF_2[\alpha]$($\alpha^2 = \alpha+1$)上の函数とみなしたものは互いに異なる。
こういう具体例がノータイムで出て来ることが大事。

面倒なのは有理函数(多項式環の分数体の要素)に対応する「函数」の場合。
有理函数ごとに定義域も変わるので、
異なる定義域を持つ函数達を同時に扱うための「処理」が必要になる。(これには複数の処方箋がある。)
結果的に、無限体の場合には、有理函数と対応する「函数」は同一視可能になる。
そもそも中学校の数学の教科書では、
2つの文字式(有理函数の場合もある)がいつ等しくなるかについて、
はっきりした説明はないと思います。
以前、私が見た教科書では、2つの文字式が等しいとはどういうことかに関する説明を見つけることはできませんでした。
どうせ無限体上の多項式や有理函数しか扱っていないのだから、
それらと通常の函数の区別を厳密にする必要はないと思います。(その辺に関するミスリーディングな説明に注意!)
しかし、中学校の数学の教科書では多項式函数として等しいことがどういう意味であるかの説明も見つけられなかった!
その辺については、中学校の学習指導要領解説(≠学主指導要領、厳密に区別すること!)にもひどく不明瞭な説明があってひどいことになっています。
おそらく数学が苦手な人達の数学教育業界ではそのひどいやつが標準化している。

「操作の方法」「操作の結果」という説明の仕方がひどく曖昧で悲惨なことになっている。
数学の言葉を使って明瞭に説明せずに、独特の説明で全国の中学校数学教師に悪影響を与える方針。
ひど過ぎ。

「多項式函数」ブームの元ネタはこれか!
有理函数を函数とみなすときの定義域は有理函数ごとに変わる。
例えば、有理函数$1/x$を函数とみなすときには0を除外しなければいけないが、
有理函数$x^2/x$は多項式$x$になるので函数とみなすときに0を除外しなくてよい。
本質的にこれだけの話。

あと、この手の問題について、「高校の範囲でマルになるようにする」とか、
「純代数的に扱う」という無用に狭い考え方をする必要はない。
考え方を制限した途端に多くの直観が失われる。
極限や漸近挙動を見るという発想も非常に大事です。

$2/(x^2 – 1) = a/(x – 1) + b/(x + 1)$
という等式を見たら、「$x \to 1$で両辺がどのように振る舞うか」などもイメージできるということを知っておいて損がないです。
$x \to 1$とすると$2/(x^2-1)=1/(x-1) + 2/(x+1)$$と$a/(x-1)$の中の$1/(x-1)$の因子の絶対値は幾らでも大きくなる。
$b/(x+1)$の項は相対的にちりのようなものになり無視できる。
$x \to 1$では巨大になる$1/(x-1)$の因子を除いた$2/(x+1)$と$a$が一致しなければいけない。
すなわち$1=a$でなければいけない。
同様に$x \to -1$で$2/(x-1)$と$b$が一致するので$-1=b$でなければいけない。
実際に$a=1$,
$b=-1$を代入して確認すれば終了。
代入できなくても、極限が収束しなくても、漸近挙動(振る舞い方)を直観的に考えることはできる。
もちろん、曖昧な直観だけではなく、確固たる論理的基盤もあった方が良いのだが、直観がないのも困ると思う。

$2/(x^2-1) = a/(x-1) + b/(x+1)$の両辺に$x-1$をかけて
$2/(x+1) = a + b(x-1)/(x+1)$として、$x$に1を代入して$1 = a$を得てもよい。
この議論と両辺に$x-1$をかける前の状態で$x \to 1$としたときの様子をイメージすることを比較せよ。

注意:数学用語の習慣で、有理函数は多項式分の多項式を意味し、写像としての函数を意味しません。
だから「有理函数を函数とみなす」という言い方が合法的になる。
数学用語にはこの手のものが結構多いです。
もちろん、適当な処理のもとで有理函数は通常の函数ともみなされます。
日本語に訳すときに失敗するパターンもあって、行列も行列式もどちらも式なのですが、行列と行列式は違う式になります(笑)
今さらdeterminantを「行列式」と呼ばずに済ますのは難しい。

人の名前が付いている数学用語にもひどい場合があって、
A. BorelさんはKilling form (Killingは人の名前)という数学用語を作ったのですが、
Killing formの概念を作ったのはKillingさんではない。
しかもBorelさんは後でそのように名付けた理由を覚えていないと言っている(笑)

例えば、$x^2/x$を函数とみなすときの定義域については
「$x^2/x=x$であり、$x$を函数とみなすときには定義域から0を除外する必要はない」と考えて良いだけではなく、
「$x^2/x$を函数とみなすときに$x=0$を除外したとしても、連続函数として$x=0$まで一意的に拡張できる」と考えても良いです。
数学的に真っ当な考え方は無数にあることが多く、
それらの多くが結果的に同等の結果を与える場合がある。
上の見方はどちらも同等に結果を与えます。
バツをつけて良い理由をいきなり考えることは、非教育的かつ非数学的行為だと思います。
少々間違っていても、一部に論理的なギャップがあっても、
少しの訂正で十分な議論になる場合は、数学的に立派な議論であり、
中高生が「不十分だが、立派な議論」を(たとえ偶然であっても)しているのを見つけたら、
いい気になる程度に徹底的に褒めてやった方が数学教育はうまく行くと思います。

当たり前の話なんですが、
論理的厳密さの追求は「試験でバツをつけたり、減点するため」にやっているわけではありません。
細部が曖昧で論理的な基礎付けが不十分であるように見える素晴らしいアイデアを確固たるものにするために論理的厳密さを追求しているのです。
数学では、論理的にはギャップのある素晴らしいアイデアや直観を大事にするために論理的厳密さの追求が行われているのです。
論理的にはギャップのある素晴らしいアイデアや直観を潰すために論理的厳密さの追求を利用する人には「地獄に落ちろ」と言ってよい。

中高生では以上で述べたようなことを理解するのは難しい。
だから、論理を「潰すため」ではなく、「活かすため」に使う場面を教える側は生徒に見せることが必要。
「この答案を書いたやつは分かっていないに違いない」という態度を安易に表に出す奴は数学教育の世界から出て行くべき。
「数学的に正確に考えればどうなるか」に関する議論を省略して、
「どのように採点するべきか」の議論にしてしまうことは、数学教育的に有害だと思います。
率直に言って不快なので注意した方が良いと思う。
まずは教える側が十分に数学を理解していないとお話にならない。

$\bbQ[\sqrt{x}]$の取り扱いの話。
まずは中学生に教えている側が、
中学生が文字$x$の$\sqrt{x}$を十分な論理的な裏付けなしに使ったときに、
やろうと思えばどのようにギャップを埋められるかを理解している必要がある。
教えている側が数学を理解しておらず、理解していないことに無自覚なのは完全にアウト。

数学は難しいので教える側が数学を理解していないことまでは許されて然るべきだと思う。
しかし、自分自身が数学を全然理解していないことに無自覚で、
中高生による野生の立派な議論を救えていない可能性に無自覚なのは相当にまずい。

まさにそれ。
「高校生はそこまで考えていない。だからバツにした方が教育的によい」というようなひどい考え方をしている人達には相当に問題がある。

高校生がそこまで考えているはずがないとのいちゃもんが元TWとは別人から出てくることを危惧。

無限体上で考えていれば、適切に定義された多項式函数全体の集合は元の多項式環と同型な環になるので、
元の多項式環における定理群は多項式函数全体のなす環でも意味を持ちます。
多項式環と多項式函数の区別の必要性を極度に強調するのはミスリーディング。
この点にはみんなもっと注意した方がよい。

あと、そもそも、中学校で習う文字式について等式がいつ成立するかについて、
論理的に明瞭な説明が教科書にない点も問題だと思っています。
例えば$x^2/x = x$が成立する理由はどこに書いてあるのか?
こういう基本的なことさえ不明瞭。
私が見逃しているだけなのかもしれない。情報募集。

「中学校数学」や「高校数学」といった独特の考え方を含む分野が、
一般数学ユーザーが標準的に使っている数学とは別に作られて、教えられるようになっているという問題がある。
単項式は多項式ではないことにしたり、多項式ではなく整式と言うような分野が維持され続けている。

  1. $x^2/x=x$が成立する理由は教科書のどこに書いてありますか?
  2. $ab \div ab$の解釈には$((ab) \div a)b$と$(ab) \div (ab)$の少なくとも2つがあり得るのですが、どれであるかを確定させるための演算の優先順位の説明は教科書のどこに書いてありますか?

どちらも書かれていないんじゃない?

私は、有限体を扱っていないのに「多項式と多項式函数を区別しないのが悪い」と強調した人達は微妙にダメな発言をしたと思っています。
有理函数の扱いが面倒という問題はある。
現実には「それ以前の問題」も生じていると思う(1つ前のツイートを参照)。
根本的な所がまずい。

文字式の取り扱いは中学校で本格的に習うのですが、
文字式がいつ等しくなるのかの明瞭な説明がないままで、
先に進んで行くスタイルになっていて、
習っている中学生の側は形式的な記号操作だけをわけもわからずやらされている場合が多いと思う。
「移項」という教え方でさらに被害を拡大している感じ。
ほとんどあらゆる用語が要注意で、例えば元ネタの問題文中にある「恒等式」は、
「方程式」と対になっていて、「等式は恒等式と方程式に分類される」のようなおかしな言説を構成する用語の1つになっています。
慎重に中高生に数学を教えたい人は安易に使わない方が良い用語の1つになっていると思う。
ちょー算数問題というのがあって、
まともな算数とは異なる独自の非常識な算数もどきの体系(ちょー算数)を算数教育界は100年以上かけて育てて来ていて、
算数の教科書は非常識なちょー算数を教えるように編集執筆されています。
それに近い問題が中高の数学教育にもある。これは大問題だと思います。

現代の標準的な数学のスタイルでは、等式は単に等しいことを意味するに過ぎず、
「等式は恒等式と方程式に分類される」というのはナンセンス極まりないのですが、
中高生にそのように説明したがっている人達がいる。
等式のような最も基本的な事柄でさえまともに説明されていない。

そう!その問題もある。
「因数分解」のような用語の説明も極度に曖昧で困ったことになっている。
数学をよく理解している人にとっても、意味が確定しないような説明しかされていないのが普通というのは問題あり過ぎ。
数学を理解していれば意味が確定する程度にが明瞭に説明して欲しいと思う。

$\bbQ[x]$における$2x^2+4x-6$の因数分解なら,
$(2x-2)(x+3)$,
$(x-1)(2x+6)$,
$(4x-4)(x/2+3/2)$どれも正しい。
$\bbQ[x]$での因数分解は有理数倍の違いは無視してよい。
要するに、中高の数学はどこの範囲に答えを要求しているのかが分かんない所に問題がある。

文字式とは何かについて中学校の学習指導要領解説(学習指導要領そのものとは異なる文書、厳密に区別せよ!)によれば
【$ab$や$a/b$,さらに,$a+b$,$a-b$という表現は,操作の方法を表しているとともに,操作の結果も表している】らしい。
この部分の説明が曖昧過ぎてひどい。

謎のコメント

次のようなツイートがありました.

怖い人だから引用はつけないけど、
「有理函数$x^2/x$は多項式$x$になるので函数とみなすときに0を除外しなくてよい」てそれほんとに標準的な数学か?
じゃあ多項式関数$f(x)$の微分の定義は、$g(h)=(f(x+h)-f(x))/h$に対してわざわざ「$f'(x) = \lim_{h \to 0} g(h)$」とせず、
「$f'(x) = g(0)$」でいいわけ?信じがたいが。

鴨さんからのコメント.

複素関数論では除去可能特異点は除去して困らないことが普通で、あらかじめ除去する(正確にいうと除去したことをいちいち断らない)のが慣習です。高校で取り扱う有理関数は複素関数論の文脈で語って困らないのでその慣習に準じたと見ることもできます。

黒木さんからのコメント

大事な注意: 有理函数は定義より写像としての函数ではないです。
だから、有理函数の話をしているのに、多項式函数の話に勝手にするのはおかしい。
一般の体上の多項式の微分では$h \to 0$の極限を使えないので、
多項式$(f(x+h)-f(x))/h$に$h=0$を代入して定義することが定義の1つの方法になります。

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