現代数学探険隊 PDF 販売

もっと深く数学や物理を勉強したいと思っているあなたのために

私は現代数学の通信講座を 2 年以上運営しています.
その通信講座で使っている実績あるテキストを PDF コンテンツとして販売します.

これは次のような問題でお困りのあなたのためのコンテンツです.

  • 既存の本は本ごとに前提知識が違うため, 予備知識とされる分野は勉強済みであっても, たまたま知らない知識があって読みたい本を読むときに困ることがある.
  • お勧めの本をたくさん紹介されたはいいものの, 具体的にどの本をどんな順番でどう読めばいいかわからない.
  • 勉強したい分野があってそのための基礎として勉強してはいるが, いま勉強していることが先々でどう活かされるかわかればもっと基礎の勉強だって楽しくなるのに, と思っている.
  • 勉強した内容が物理などの応用分野で具体的にどんなところでどう活きているかを理解しながら勉強したい.
  • 勉強した内容がどんなおもしろい分野や事実と関係があるか, 数学の世界の大きな関係を見ながら勉強したい.

通信講座の内容をなぜ PDF コンテンツとして販売することにしたか,
その理由は後で説明します.
まずは PDF コンテンツの内容を説明していきましょう.
以下, PDF コンテンツは現代数学探険隊という名前で呼ぶことにします.

現代数学探険隊とは何か?

現代数学探険隊というのはもともと通信講座のタイトルです.
この PDF コンテンツも同じ名前で呼ぶことにします.

このコンテンツは誰のため?

この PDF コンテンツは数学や物理を勉強したい全ての人を対象としています.
あなたが現役の数学科学生物理学科学生であったとしても役立つ内容です.

どう使うもあなたの自由ですが,
私のお勧めは特にあなたが数学を勉強していく上で,
辞書として使ってもらうことです.
もちろん既存の本や雑誌を勉強しつつ,
補完するコンテンツ, 副読本として使うのもおすすめです.

他にもこの PDF コンテンツは,
次の意味で既存のコンテンツの補完として位置付けています.

  • 前提知識がばらばらな形でいろいろなコンテンツが氾濫している現状を踏まえ, 物理に必要な数学というコンセプトのもとに全てを 1 冊にまとめる.
  • 既存の入門書に関する不満の解消: 既存のコンテンツは「難しい話」を避けるため, そのコンテンツで先々の話との関係, さらにはその本の内容がどんな世界につながっていくか, 応用の現場でどう使われているかがほぼ全く議論されていない.
    勉強のモチベーションを保つため, 何がどんなところでどう活きているかを積極的に紹介していく.
  • 数学内部にとどまらず, 抽象的で何にどう使われるか初学者には全くイメージできない数学に対しても, 特に物理でどんなところにどう使われるかを具体的に紹介していく.

もしあなたがこうした点に興味があるなら,
ぜひこの先も読み進めてみてください.
あなたが数学学習, そして物理学習を進めるために必要なことをいろいろ書いているので,
必ず参考になることがあるはずです.

このコンテンツは何のため?

PDF コンテンツのもとになった通信講座,
「現代数学探険隊 解析学編」は物理を勉強する上で必要な数学,
特に解析学を数学科水準の厳密なレベルで勉強することが目的です.

なぜ数学科水準を求めるのか?

順に説明していきましょう.

まず数学や物理に関するコンテンツを取り巻く環境からお話します.
物理や工学で必要な範囲に関しては,
それぞれの分野ですでに本がたくさん出ています.

しかし, 数学科水準の内容が物理や応用向けに議論されている本はほぼありません.
ほぼ例外なく, 厳密さの度合いか, 証明の詳細が省略されています.
このコンテンツではそのギャップを埋めることを目的にしています.

どうして厳密性が大事なのか?

もちろん厳密さを重視する大事な理由があります.
それは超弦理論を中心に最近の理論物理は数学的なハードさが上がっていること,
そしてそうした分野に興味を持つ方が多いことです.

そうした水準を目標にしているなら,
いつまでもあやふやな理解に基づいて気分的にやっているよりも,
一度, 数学科水準の内容をがっちり勉強してしまった方が
かえって後が楽なのです.

ある程度の先の世界, そしてその面白さを知ってしまうと,
基本的な勉強はどうしても面白くなくなってしまいます.
筋トレや走り込みを面白いと思う人が少ないのと同じです.

しかし, 基礎があやふやなままでは,
基本的な勉強を何度もやる羽目になります.
その禍根を断ち切るため,
もう数学科水準でかっちりやってしまえ,
それがこのコンテンツのコンセプトです.

そうした配慮に基づいて,
あくまで数学科水準の内容を厳密に追うことを目的にしています.

どうして解析学なのか?

解析学を主に取り上げる理由は,
物理の数学的基礎が解析学, 特に微分方程式論にあるからです.

そして私の情報発信スタイルや内容から,
私に数学の勉強に関して相談される方は,
物理を勉強したいという方も多いのです.

もちろん私自身の数学的・物理的専門からしても,
解析学がどストレートです.

超弦理論を勉強するためには幾何学が重要です.
しかしそれにいたるまでには,
どうしても量子力学や統計力学のような分野の勉強が必要です.
そしてこれらの数学的基礎が解析学だからです.

解析学と幾何学の関係,
超弦理論への応用に関してはあとでまた少し紹介します.

他の数学への配慮は?

講座のいたるところで探険パートと称して,
解析学以外にも幾何や代数のいろいろな話題を紹介しています.

先程書いたように, 超弦理論を中心にして,
最近の理論的な発展では幾何学がとても重要な役割を果たしています.
その幾何もコホモロジーを中心に,
ある程度の代数を知らないことには手も足も出ない状況もあります.

もちろん, 物理にそれほど興味はなくて,
いろいろな数学を勉強してみたいという方もいらっしゃいます.
あなたもそうかもしれません.
当然, そうした点にも配慮してコンテンツを構成しています.

単に解析学だけ考えるなら削っていい話であっても,
あとあと幾何や代数を勉強する上で
大事な分野や議論は積極的に取り込んでいます.

具体的には位相に関する話も一般の位相空間論レベルで展開しています:
解析学に比重を置くなら,
有限次元の線型代数とも絡めつつ,
ノルム空間・内積空間にフォーカスした位相空間論を展開した方が効率的ですし,
わかりやすいとさえ言えるでしょう.

しかし, 先程も書いたように何度も基礎をやる羽目になる
つらさを減らすため,
幾何をスムーズに勉強できるよう,
位相空間はかなりこってり議論しています.

他にも, 幾何と代数の関係を解析学から見る,
といった数学内部の大きな話も積極的に解説しています.

このページを読んだあなたの独学それ自体が楽になるよう,
解析学から他の数学に向かう道として,
3 つ具体的に紹介しておきましょう.
ぜひ参考にしてください.

微分幾何・幾何解析

ド・ラームコホモロジーと深く関わるため,
トポロジーでも基本的で決定的な意義を持つ調和積分論という理論があります.
これは多様体上での楕円型偏微分方程式の解析にあたり,
かなりの準備が必要なせいで,
たいていの本では証明が省略されています.

そんな調和積分論をきちんと議論するためにはソボレフ空間論が必要です.
このソボレフ空間論をこの講座の中できっちり議論します.

20 世紀幾何学の金字塔でもアティヤ-シンガーの指数定理でも,
その証明でソボレフ空間論が出てきます.

そして 20 世紀後半から怒涛の勢いで微分幾何系の幾何学を席巻した,
素粒子物理との交点として重要なゲージ理論でも,
ソボレフ空間論は基本的な道具です.

これらの理論は幾何的な議論が
最終的に偏微分方程式論に帰着するという特徴があります.
ここにアタックする上で,
この講座で扱う解析学への知見・腕力は本質的です.

もちろん超弦理論との関係も深い分野で,
そこへの数学的アプローチの 1 つになっています.

表現論と代数・幾何

量子力学では群の表現論が基本的な役割を果たします.
例えば粒子の統計性の議論は置換群の無限次元ユニタリ表現です.
そして時間発展や時空並進も表現論との関係があり,
これらはこのコンテンツでも議論されています.

これ以外にもスピンと角運動量といった話題も表現論の勢力圏内ですし,
素粒子でも基本的な意義と役割があります.

この講座の中で組織的な取り扱いまでは対応しきれません.
それでもフーリエ級数・変換は表現論の土壌であり,
ここを基点にして表現論に向かうこともできます.
そしてフーリエ変換はこのコンテンツでも,
基礎をみっちり議論しています.

さて, 表現論からどう代数や幾何に向かうのでしょうか?
まず物理で出てくる表現論は群,
特にリー群の表現論が重要です.
リー群は群多様体として代数・幾何的な特徴づけを持つので,
直接的に代数と幾何, そして解析学が交錯する舞台です.

リー群に対して標準的にリー環という概念が定義できます.
リー環は純代数的な議論もあり,
ここから代数に切り込んでいく道があります.

幾何にしても, 幾何学的表現論という分野があるくらいですし,
他には表現論と複素幾何 (Representation theory and Complex Geometry)
と言った書名の本もあります.

そして解析的な視点を重視して表現論を議論している著名な和書もあります:
それは小林-大島の『リー群と表現論』です.
5,940 円と安い本ではないものの,
610 ページという大著で, 代数・幾何・解析を総なめにした,
本当に魅力的で面白い本です.

この本は 2 章から早速 Fourier 解析と表現論,
行列要素と不変測度, Peter‐Weyl の定理を議論しています.
これらはこの現代数学探険隊で解説している解析学の知識を
表現論から見るとどうなるか, という議論をしていて,
この PDF コンテンツで勉強した内容がダイレクトに活きます.

$p$-進作用素環

この PDF コンテンツでは私自身の専門もあって,
随所でバナッハ環や作用素環の話をしています.
このバナッハ環や作用素環はふつう関数解析といったときには標準的な,
複素係数で議論しています.

しかしこれを $p$-進複素数に変え,
数論への応用を目指して議論しているのが $p$-進作用素環の理論です.

これを専門としている方に聞いたところ,
2018 年の時点では未開拓の分野であり,
決定版と言える教科書もまだないとのことでした.
しかし, そこで $p$-進可換バナッハ環の議論が基礎になる,
ということで本を勧めてもらっています.

この本を眺めたところ,
バナッハ環から代数幾何的な手法で解析空間を構成し,
適切な幾何につなげる流れで議論が構成されています.

バナッハ環は代数と解析をつなぐ例であり,
この PDF コンテンツでも何度か登場させている大事な対象です.
それが直接的に幾何とも結びついていき,
最後は数論とも結びついているわけです.

こうした具体的な分野・経路や本をも念頭に置いています.
あとで紹介する目次だけを見れば解析学に特化した内容に見えるかもしれません.
しかし他の分野との接続もよくなるようにきちんと配慮しています.

そしてこうした情報も随所に載せているので,
数学内部の縦横のつながりも意識しながら勉強できるようになっています.

どんな物理が勉強できるようになるのか?

このコンテンツでカバーできる物理として,
具体的にイメージしているのは量子力学です.
やはり憧れとしている人が多く,
これを勉強したがる人が多いからです.
そしてはこれは私自身の専門でもあります.

特殊相対論もカバーしています:
特殊相対論の数理の本質的な部分は微分積分以上に線型代数です.
関数解析は無限次元の線型代数とも呼ばれているほどであり,
この PDF コンテンツのテーマである関数解析系の解析学にとって,
線型代数は理論の核であるとさえ言えます.

一般相対論に関しても, ある程度はカバーできます.
ただ, 一般相対論の数学こそまさに幾何学であり,
具体的には準リーマン幾何学が必要です.

解析学を中心とするこのコンテンツでは,
数学科水準としての微分幾何・リーマン幾何は手薄にならざるをえません.
しかし, この講座でもベクトル解析を議論するため,
一定の範囲はカバーできます.
もちろん多様体論への接続も意識して,
関連する内容を議論しています.

どうしても幾何がやりたいときは?

結論から言えば, この PDF コンテンツでは,
幾何へのカバー範囲が弱いのは間違いありません.
要望が多ければ幾何に関する詳しい議論は
別のコンテンツでカバーしていく予定ではあります.

最初に書いたように,
このコンテンツは通信講座の内容をもとにしています.
通信講座をまともな期間で終えるようにするためには,
1 つの講座に盛り込みすぎるわけにはいかないからです.

しかし, このコンテンツで解説する基礎があれば,
たいていの数学は十二分に攻略できる基礎が身につきます.
このコンテンツで勉強したあと,
具体的な幾何学の勉強に進んでください.

具体的にどう役に立つか,
ここでも簡単に紹介しておきましょう.

例えば微分幾何では常微分方程式や陰関数定理・逆写像定理のような,
解析学の結果も大事です.
一般相対論のことを考えるなら,
多様体上での偏微分方程式論も必要です.
そうした要素もできる範囲でカバーしています.

通信講座とは何が違うの?

比較のためにもとの通信講座のコンセプトも説明しておきましょう.
通信講座は独学が難しい大人向けの内容として構成しています.
単に知識伝達の手段としてコンテンツを配信しているのではなく,
学習しやすい環境を提供するサービスです.

つまりコンテンツとして単に数学知識だけを提供するのか,
サービスとして学習環境それ自体を提供するのか,
そうした違いがあるのだと思ってください.

大学という整えられた学習環境をきちんと持っている学生さんには通信講座は勧めていません.
しかしこのコンテンツそのものはお勧めしています.
それはそうした根本的なスタンス・意図の違いがあるからです.

勉強のペースを作ってもらうため,
通信講座ではコンテンツを 10-20 ページの適当なボリュームに切り分け,
メールベースで週次でコンテンツを届けていくスタイルを取っています.

勉強を続けるため・理解を定着させるための宿題があり,
宿題を出している方向けのボーナスサービスなどもあります.
もちろん疑問・質問への対応もあります.

それに対してこの PDF 販売はふつうの書籍販売と同じで,
いわば素材としてのコンテンツの切り売りです.
その料理の仕方はあなたに任せます.

  • 自分で頭から勉強していってもよし.
  • 必要なところだけつまみぐいするもよし.
  • 不明点が出てきたときに参照する辞書として使うもよし.
  • 物理で必要な数学を数学科水準で見るとどう議論されているか知るために使うもよし.

ぜひあなたの思うように使い倒してください.

物理を勉強したことがあるなら誰もが気になるであろう,
ヒルベルト空間論や超関数論といったテーマも,
数学的にきちんと議論しています.
もちろん物理や微分方程式論との関係,
さらにはその気持ちも意識しながら議論しているので,
数学的・物理的な気分を掴む上でも役に立ちます.

簡単な自己紹介

そろそろ自己紹介をしましょうか.

数学, 物理それぞれを勉強するだけでも大変なのに,
両方にまたがるコンテンツを提供しようという人物がどんな来歴を持つのか,
あなたも当然気になっているでしょう.

学部は物理, 修士は数学

私は学部は早稲田大学の理工学部物理学科 (在籍当時),
修士では東京大学数理科学研究科で数学を専攻していました.
実際に物理と数学の狭間で専門的な教育を受け,
研究していました.

専門は数学的には作用素論・作用素環論,
物理的には場の量子論と量子統計力学です.
具体的には赤外発散の数理や相転移の数理を研究していました.
大学から離れたいまも日々研究を続けています.
それは数学や物理に限らず, それらの教育に関する研究も含みます.
そしてこのコンテンツもその研究成果の 1 つです.

大学院修了後の来歴

大学院修了後の来歴も簡単に説明しておきます.
大学を出たあと一般企業に就職したため,
数学や物理の話ができる知り合いが一気にいなくなりました.
学生時代の友人たちも数学や物理の勉強・研究を続ける者ばかりではない上に,
続けている友人達であってもなかなか自由に交流できるわけではありません.

そこでこれまでの付き合いは付き合いとして,
新たに数学や物理の話ができる知り合いを作ろうと思い立ちました.
そんなとき, ニコニコ動画で数学の動画を作っている人がいることを知りました.

動画作成をしたことなどありません.
しかしそれを見て「これなら自分にでもできるのではないか?」
そう思いました.

ニコニコ動画は毎日たくさんの動画投稿があり,
いわゆる素人もたくさん投稿していたからです.
そんなわけで, ネットでいろいろ情報を調べ動画を投稿しました.

ニコニコ動画にある動画は,
たいてい中高レベルの数学ばかりです.
それは作り手だけではなく受け手の問題でもあります:
ゴリゴリの数学や物理の解説をわざわざニコニコで見ようと思うか?
ということです.

しかし私が作る動画はゴリゴリの大学レベルの内容で,
場合によっては大学院レベルにも踏み込みます.
当然, 再生数も少ないわけですが,
突き抜けたことをやっているので逆に目立つといえば目立つわけです.

最初, 数学系の人よりも化学や情報系の人と仲良くなりました.
ニコニコ動画で動画を作っている人達の中で,
自身はそうした専門的な内容で作っているわけではなく,
数学は専門外であっても, 何かしらの専門的な知識や経験がある人たちです.

その人達に「こいつは本物だ」と思ってもらえたわけです.
当初の意図とは違って数学・物理系ではないものの,
かえって私が知らない世界を深く広く知る専門家との交流がはじまりました.

その人達と交流を深めるなか,
横の広がりも大きくなりはじめ,
実際に数学科や物理学科の現役学生だけでなく,
さらにはポスドクや教官といった人達との交流もはじまりました.

そして「これをやったら面白いだろう」「こんなこともやってみたい」と思っていろいろやるうち,
ニコニコへの動画投稿ばかりではなく,
東大, 京大, 阪大, 早稲田, 慶應, 津田塾などの大学生とのリアルセミナーやイベントに出たり,
そのセミナーをもとに DVD を作って Amazon で販売したり,
それを見た高知工科大学の全教授から講演依頼を受けて高知工科大学で講演したり,
通信講座も作ってみたり, といったふうに活動の範囲を広げています.
高知工科大学での講演の様子は大学のホームページにも記載がありますし,
撮影した動画は YouTube にもアップロードしています.

いまは Twitter をベースの活動場所として,
中学生からポスドク・教官まで含めた幅広い人達と交流をしています.

さらに「有料でもいいから勉強し続けられる環境がほしい」という声に応え,
いまの有料の通信講座やコンテンツ販売に至ります.
「ともだちひゃくにんできるかな」ばりの「もっと友達がほしい」
という思いからはじまった活動は,
10 年かけてここまで広く大きくなりました.

これからもさらに活動の幅を広げていこうと思っています.

他のコンテンツやサービスとの違いは?

ここで語る「違い」は,
私自身の既存のコンテンツやサービスとの違いでもあります.

既存のコンテンツの”欠点”

既にコメントしたことでもありますが,
大事なことなので再掲しておきます.

  • 既存の本は本ごとに前提知識が違うため, 予備知識とされる分野は勉強済みなのにその分野の知らない知識が必要になる.
  • お勧めの本をたくさん紹介されたはいいものの, 具体的にどの本をどんな順番でどう読めばいいかわからない.
  • 勉強したい分野があってそのための基礎として勉強してはいても, いま勉強していることが先々でどう活かされるかわからない.
  • 数学に関して勉強した内容が物理などの応用分野で具体的にどんなところでどう活きているかわからない.

欠点と書きはしました.
しかしそれはいろいろな制約のもとでの最善の対処をした結果でもあり,
欠点と言い切れることばかりではありません.

例えば上のような内容を全て盛り込んだコンテンツを作ると,
当然ボリュームがとんでもないことになります.
多くの場合, 1 冊で 400 ページもあるとかなりのボリュームでしょう.
その中でそれなりに広いテーマを扱おうと思うと,
削らなければいけない部分が出てきます.
それこそが上で挙げた「欠点」です.

既存のコンテンツは「1 テーマをきっちり」というスタンスとも言えます.
これは「物理数学」のようなコンテンツで,
線型代数からフーリエ変換から偏微分方程式まで
300 ページくらいで一通り書いてあるコンテンツも同じです.
これは「最低限必要な内容を知識ベースで 1 冊にまとめきる」という
1 テーマに向き合って作られているのです.
定理の証明を通じてそれが成り立つメカニズムを分析するよりも,
それらが成り立つことを前提にどう使い倒すかに重点を置いているとも言えます.
これは応用家には大事な視点です.

私自身, こうしたコンテンツで勉強してきています.
特に学部は物理学科だったので,
数学的に厳密ではないものの, 物理で必要だからその範囲でとにかくやりきる,
そうしたスタンスでの勉強やその必要性,
やり方についてもいろいろなノウハウがあります.

既に社会にあるコンテンツやサービスの中にもいいものはたくさんあります.
そして, それだけではなく, もっとバリエーションがあればいいな,
と思っているわけです.

だから, 私が今までに作ってきた多くのコンテンツやサービスは,
既存のコンテンツを補完する内容です.
具体的には次のような特徴があります.

  • 細かいところはあえて説明しない: 詳しい既存の本を紹介するに留める.
  • 数学や物理の大きな流れや他の分野との関係にフォーカスする.
  • 既存のコンテンツではあまり議論されていないトピックにフォーカスをあてる:
    数学と物理の交点を数学よりのスタンスで紹介したり,
    多くの数学が交錯する面白いトピックを紹介して数学の世界の絡み合いを見せてみたり.
  • 中高数学でも大学教養レベルの応用を見せ,
    それに必要な数学という視点から中高数学を大きく眺める.
  • 数学や物理の勉強の仕方を解説する.

他にもいろいろありますが,
私が一般向けに展開しているコンテンツの特徴はこんなところです.
そしてもちろん, 今回の PDF コンテンツにもこの特性は含まれています.

今回の PDF コンテンツのポイント: 網羅性・体系性

どちらかと言うと社会に既にあるコンテンツよりの内容・スタイルです.
つまり 1 テーマきっちり型であり,
細かいところにまで踏み込んで詳しく議論する教科書スタイルです.

もちろん既存のコンテンツとの根本的な違いもあります.
それは, いわゆる物理数学を集合・位相・実数からはじめて,
完全に数学的に厳密に, 体系的に進めていることです.

物理数学の名前を関してコンテンツにありがちな,
結果や計算方法の羅列ではないことです.
計算よりもその理論が生まれた物理的な背景や,
数学的な進展, そしてさらなる深い物理への道にフォーカスして解説しています.

これと関係することとして,
もう 1 つ大事なテーマは数学的網羅性です.
量子系の数理に関するテーマを中心にした 11 章があり,
3300 ページを越えるボリュームがあります.
1 つ 1 つのテーマを縦横無尽に徹底的に議論しています.

復習を組み込んだコンテンツ

他にも, 通信講座のコンテンツがベースになっていることから来る特徴もあります.
その 1 つは復習とくり返しが多いことです.

通信講座はもちろん頭から順に勉強していってもらいます.
前にやったことは後でも使うのは当然ですが,
何から何まで覚えていられるわけではありません.

特に勉強する時間が取れない大人向けに
強制的にコンテンツを送り続けることで勉強を続けてもらう,
ある意味スパルタ式のスタイルなので,
勉強が浅い回の内容は特に覚えていられないでしょう.

特に社会人向けに講座を展開していますし,
受講されている方にも生活があります.
いつでも最大精度で勉強できることは前提にできません.

それを念頭に置いて,
通信講座では適宜復習を入れています.
復習回として 1 回分独立に入っていることもあれば,
定義や定理の再掲という形で各所に入っていることもあります.
ふつうの本だと単純に前の部分を参照,
となっている部分を直接本文で再掲しているわけです.

あなたが本を読んで勉強しているとき,
この参照を辿るのが面倒だと思ったことはないでしょうか?
その手間をできる限り減らすように工夫しています.
他にも PDF である利点を活かし,
参照をリンクにすることで簡単に元のページに飛べるようにもしています.

値段にも跳ねるため,
一般販売されている書籍ではページ数を増やす選択はしづらいでしょう.
しかし通信講座ではオンラインで順次コンテンツを配信しているのであり,
デジタルでコンテンツ配布しているため,
私のコンテンツにはよけいなページ数の制約はありません.

全体的なボリュームが増えるのはふつう欠点になるでしょう.
紙の本だと持ち運びできるような大きさ・重さという問題もあります.
それを次のような長所に変えています.

  • 面倒な復習の手間を省く.
  • 理解の深化や定着に重要な復習をやりやすいように配慮する.

理解の定着に復習は必要不可欠ですから.

探険パートの楽しみ

通信講座運営から来るコンテンツの特長があります.
それは 1 回ごとにその回と関係がある発展的な内容の解説がついていることです.
既存のコンテンツにも, よく発展的な内容を議論した「コラム」があります.
あれを組織的に大発展させたのが探険パートだと思ってください.
「現代数学探険隊」の命名に関わる特色ある部分です.

発展的な内容は探険パートとしてまとめて書いているので,
それらだけを一気に見通せるコンテンツ構成になっています.
そして既に他の回で紹介したテーマであっても,
なるべくくり返しを厭わずに書いています.

こうした理由の 1 つはもちろん復習です.
通信講座の中で再び出会うとき,
前の内容を覚えていると思っていません.
だからくり返し書いています.

今回の PDF コンテンツ利用,
特に辞書として使うときにもこれは大事な意味があります.
それは特定のトピックを調べたとき,
都度, 横串でいろいろな知識が手に入ることです.
探険パートではくり返しを厭わず,
そして横断的にいろいろな話をしているので,
予習復習を兼ねながら数学に対する世界観が大きく広くなっていきます.

こんな話をするとイメージを持ってもらいやすいかもしれません:
あなたは紙の辞書を使ったことがあるでしょうか?
そしてついつい関係ない項目まで読み込んでしまい,
時間が溶けた経験はないでしょうか?

忙しいときには困ったものですが,
時間があるときならこれがまた楽しい時間であることは共通体験としてあるはずです.
そしてこれはこのコンテンツを辞書と呼んだ理由の 1 つでもあります.
物理と数学の狭間に生きる者として,
数学の本にも物理の本にもこういうことを書いてほしかった」という内容を随所に盛り込んでいます.

なぜ PDF 販売するのか

もちろん, そういう要望があったことが大きな理由の 1 つです.
通信講座には興味がないが,
コンテンツとして PDF には興味がある,
そんなご意見もありました.

もう 1 つ大きかったのは,
実際に通信講座を受講されている方からのご要望です.
一括で半年分の支払いされている方から
「どんどん勉強したいので, 支払った期間分のコンテンツを先にもらえないか?」
というご要望があったのです.

確かに, 通信講座のような形ではなくても,
自律的に勉強していける人はいるはずだし,
そういう人でも通信講座で掲げたコンセプトに沿ったコンテンツを
求めている方はいるだろうと.

他にも, 集合論や位相空間はもうきちんと知っているので,
ルベーグ積分や関数解析のような多少アドバンストな内容だけ勉強したい,
そんなニーズもありました.

この手のニーズは, やはり過去に数学科所属で集合と位相は問題ないものの,
他のことはもうあまりよく覚えておらず,
再勉強したい, といった方や物理学科を卒業された方に多かったように思います.

そういう方向けにはいったん既存のコンテンツをお勧めしていて,
参考文献リストも渡しています.
ただ, そうは言ってもいろいろな事情はありますし,
こうした方向けのサービス・受け皿も 1 つきちんと作っておこう,
そうした思いもあります.

そして将来的にはこうしたサービスを,
既に大量のコンテンツを持っている既存の出版社にも展開してほしいと思っています.

いわばこの逆回転で,
コンテンツごとのギャップを埋めるコンテンツはまた別に新たに作りつつ,
既存のコンテンツを通信講座として展開していってほしいのです.
こういうコンテンツの転用やサービス開発がありうること,
きちんと受け入れられることを出版社や既存のコンテンツホルダーに伝えたいのです.

これは出版社の経営にも影響を及ぼせると思っています.
何かしらの形でビジネスをやってみようと思った方にはわかると思うのですが,
定常的な収入源を確保できると非常に楽なのです.
常に定額の収入が見込めるなら,
その分投資もやりやすくなります.
それはビジネス上の冒険がしやすくなることにもつながります.

内容が内容なので, 専門的な通信講座は 1-2 年スパンになるでしょう.
2 年の講座に 500 名が集まり,
月々の課金額が 4000 円だとしたら,
それで毎月 4000 * 500 = 200 万円の売上が出ます.

あなたは月 200 万で会社は食っていけないと思っているかもしれません.
しかし 1 年で計算すれば 2400 万になります.
これは中小企業の売上としてはかなり大きな金額です.
後で説明するように,
安定稼働しはじめれば利益も利益率も高くなります.

そして, 例えば出版社なら既存のコンテンツに関して,
このレベルで複数の通信講座が組めるはずです.
例えば数学・物理・化学・生物について 1 つずつ基礎講座を組むだけで
4 本通信講座のラインができますし,
これで売上は 2400 * 4 = 9600 万, つまり 1 億です.

通信講座といっても, 使うシステムは週次で送るメルマガの形で十分です.
メルマガ配信システムはせいぜい月々数万です.
実験しないとわからない部分はあるものの,
質問対応などの人件費にしても,
9600 万を食い潰すレベルの金額にはならないでしょう.
月 40 万の給料の人 1 人を専属で当てるとして,
月 100 万の経費がかかるとしても,
1 年で 1200 万です.

ここで書くことでもないのでこれ以上は省略しますが,
ビジネス戦略上の重要性は他にもあります.

きちんとやれば学術出版会にもいいインパクトが与えられると思っています.
一定の既存顧客はいるわけで,
そこに正しくアプローチしていけば受講者は一定数確実にいるはずです.

通信講座参加者向けにリアルの勉強会やセミナーを開催してもいいでしょう.
そこでも適切な費用を設定すればさらなる売上が見込めます.
大きな売上にしなくても,
サービスへの「忠誠心」が上がることによる影響があります.
そしてこうしたサービスを欲している人は確実に存在します.

実際, 無料だという理由はあるにせよ,
東京で有志の人達が開催している数学のセミナーに
毎月ほぼ 100 名がコンスタントに参加しています.
必要に応じて大学の教官も呼んでいて,
6 時間程度の長丁場でセミナーしています.
私も参加したことがあり, その内容も本当にきっちりしていました.

このコンテンツ販売には,
専門的な学術にももっと広い受け皿があることを実際に証明し,
特にビジネスとして取り組んでいる人達に提示したい,
という目的もあるのです.
私自身, そうしたサービスやコンテンツ展開を望む 1 消費者でもあります.

特に, 同じコンテンツを使っていたとしても,
サービスコンセプトを明確に切り分ければ
単純な PDF 販売と通信講座が両立できることを検証したいと思っています.
他にもいろいろな構想があり,
PDF 販売もそのトライアルの 1 つとしての位置づけがあります.

コンテンツ詳細

もちろんコンテンツの内容は通信講座の内容と同じです.
こちらでも紹介します.

まずは何を目的にしているか,
そしてその目的を設定した理由を説明します.
次にその目的にあわせてどんなコンセプトを敷いているかを説明し,
最後に具体的な章立てを説明します.

コンテンツの目的

軸は 2 つあります: 私自身の趣味や経歴とも合わせて,
物理のための数学, そして数学のための数学を勉強することです.
数学としては特に解析学です.

もちろん, 単純に大学学部レベル物理の勉強がしたいだけなら,
このコンテンツで解説している厳密な数学は必要ありません.
これは私の物理学科の学生であった経験からも言えることです.

しかし, 最近では超弦理論を中心にかなり高度な数学,
特に幾何学が必要になる場面も増えています.
機械工学のような工学の分野でも,
従来あまり使われてこなかった幾何と関わる数学の比重が増えているようです.

通信講座の運営まで考えたとき,
受講期間の問題もあるため,
この講座のメインコンテンツとしては幾何の比重を大きくは増やせません.
しかし, 将来的にこうした数学にも問題なく対応できるように,
幾何的な議論や解説はいたるところに散りばめて,
幾何的な感覚は養えるように工夫しています.

コンセプト

次のようなコンセプトを立てています.
前半は数学よりの内容で, 後半は物理よりの内容です.

  • 大学レベルの数学を集合・位相・実数論の基礎からカバーする.
  • 一貫した意識のもとに 1 つのコンテンツに内容を集約する.
  • 議論の個別の詳しさを重視する.
  • 例・反例を重視する.
  • 1 節ごとにその節の内容を発展させた探険パートをはさむことで, 数学の大きな流れや世界観を見失わず俯瞰できるようにする.
  • 物理との関係を重視する.
  • 量子力学や相対論のような物理の憧れの分野に挑めるようにする.
    特に解析学, 関数解析の視点を強く打ち出す.

それぞれ説明します.

大学レベルの数学を基礎からカバー

集合・位相・実数論が基礎になっていることは当然ですし,
この 3 つがきちんと議論されている既存のコンテンツもたくさんあります.
お勧めコンテンツについてはいろいろなところで紹介もしています.

既存のコンテンツにもいろいろな特色があり,
それぞれにいい所があります.
しかし系統的な欠点があります.
それは発展的な内容との関係がほぼ見えないことです.

基礎はいろいろなものを支えているからこそ基礎なのです.
その支えを受けて発展した世界まで見せてこそ
基礎からカバーしたと言える,
そういう認識でコンテンツを作っています.

この問題意識は次のように書くとわかってもらえるでしょうか?

「線型代数がこんなに役に立つなら, もっと早くそう教えてほしかった」

最近だと IT 系の機械学習に関連してよく聞きます.
数値計算をするときにも線型代数を酷使するので,
そういう場面でも聞く話です.

これには 2 つの側面があります.

  • 聞く側の問題: はじめから役に立つと思っていないから語る側の話を聞く気がない. そういう話を聞いていたとしても, それを正しく捉えられるレベルになかったために助言を忘れている.
  • 語る側の問題: 「役に立つからとにかくやれ」とだけしか言わず, 具体的な場面を全然説明しない.

前者の前半部分はここで語る話ではないので省略します.
後半部分はかなり深刻な話でもありますが,
やはりここで語り切れる話ではなさそうです.

1 つだけ事例を紹介しておきましょう.
どなたか忘れましたが, ある物理の教官の話です.

昔, ランダウ-リフシッツの流体の本を読んで理解したと思った.
あるとき, 流体の問題を考えていて自分の誤解に気付き,
自分で再定式化して理解し直した.
ランダウ-リフシッツの記述が間違っていたと思い,
改めてランダウ-リフシッツの本を読んでみたら,
自分で再定式化した話がそのままきちんと書いてあった.

これは時間が経っていつの間にか理解・認識が曲がってしまったという事例でもあります.
しかし正しいメッセージが書かれていたというのに,
それを間違って受け取ってしまうことは多いのです.
情報を受け取るためにも高い技量が必要なことを思い知らされた事例でした.
こうした意味でも聞く側・学習側にも一定の問題はあるのです.
もちろん語る側はこれに配慮する必要があります.

さて, 後者の話, つまり語る側の話をしましょう.
これは中学・高校の数学で良く聞く話です.
私はそんなことを言われた記憶がないので実感がないものの,
「細かいことは考えるな」「口答えするな」とだけ言われて数学を嫌になる人は多いと聞きます.
この問題じたいはここで深く掘り下げませんが,
1 つ実際の事例を挙げておきます.

いぜん, 工学者が書いた常微分方程式の本を献本して頂いたことがあります.
そして前書きにこうありました.

「数学の使い方をもうちょい前に授業で扱ってもらいたかったなぁ」

少なくともこの本の前半は応用の初学者向けにはかなりいい本で,
お勧め書籍のレパートリーに入れたくらいです.
ただ, 後半が本当に頂けない内容でした.

1 番衝撃を受けたのは次のような記述です.

これはあとあと工学でも非常に役に立つ.

こう書かれただけで理解できることなど何 1 つありません.
実際に紙の本を出すとき,
ページ数の制約があるのでその本の中で詳しく議論しろ,
などと言うつもりはありません.

それでも, 注をもっと丁寧に添えたり,
適切な参考文献を添えるくらいはいくらでもできるはずです.
工学者なのだから, 自分の論文などを公開して「ほら,
この通り最先端の研究でも使っている」と言えば説得力がいやでも増すというのに,
そうした配慮が一切ありませんでした.

「何なんだこの本」と読みながらどんどん怒りのボルテージが上がっていったのを覚えています.
「数学の使い方をもうちょい前に授業で扱ってもらいたかったなぁ」と語る
工学者がこの体たらくか, と衝撃を受けました.
編集者も全然仕事をしていません.

やはりこういうのは駄目だろうと.
そしてこれに対する私の回答が「探険パート」です.
必要なら論文も引用しつつ,
「実際にこんなところでこんな風に使われる」という事例を
たくさん紹介しています.
もっと詳しい議論を確認しに行けるよう,
論文を含めた参考文献も紹介しています.

一貫した意識のもとに 1 つのコンテンツに内容を集約する

これはよくある講座系の書籍群に対置しています.
「岩波講座 現代数学の基礎」といったシリーズです.

このシリーズの具体名に対して深い意図はありません.
せっかく名前を挙げたのでいくつかコメントはしておきましょう.
まずこのシリーズに対して入門編として
シリーズ「岩波講座 現代数学への入門」があります.

両シリーズともに個々にいい本は多く,
実際に私も何冊か持っています.
ただ, 実際に数学を勉強しようというとき,
このシリーズをどう読んでいけばいいかと言われるとかなり困ります.

解析学に限定したとしても,
何を, どういう順番で, どういう意図の元に読み込めばいいか,
それをきちんと説明できる人が執筆陣や編集者の中にいるでしょうか.

もちろん「自由に勉強してほしい」という気持ちもあるでしょう.
ただ, それは数学を専門に学ぶ人達向けのメッセージでしかありません.
勉強時間も限られた中で,
専門外の読者がなるべく無駄な回り道をせず、
効率よく高みにまで登れるようにしよう,
という配慮ではありません.

  • 例えばこんなコースがあるから試してみてほしい.
  • 合わなかったら別のこのコースを試してみてほしい.

こういうちょっとしたお勧めがあるだけでも,
初学者にはありがたいのです.
私自身, 数学であっても専門外の分野ではこうしたコメントはとても助かります.

岩波講座の話に戻ります.
この講座でも書名を見れば縦のつながりはある程度見えるでしょう.
例えば代数を勉強したければそうした内容・書名の本を勉強していけばいいのです.
しかし横のつながりは見えません.
特に素人にはほぼ不可能です.

この問題に対する,
現代数学探険隊での対応を具体的に紹介しておきます.

例えば関数解析の 1 分野,
線型作用素論で関数論を使う場面があります.
これは量子力学の数理とも関わるところで本質的な形で出てきます.
しかも偏微分方程式論の物理的な応用で
基本的な役割を果たす議論・概念との関係もあります.
具体的に言えばグリーン関数とレゾルベント解析です.

物理学科の学生だった頃,
量子力学演習でまさにこの話題が出てきたことを覚えています.
その当時はわけもわからずとにかく解いただけでしたが,
後で考えたら数学的に内容豊かな問題で,
1 問解くことで一気に広い世界を見渡せるというタイプの問題でした.

こうした縦横のつながりを意識してコンテンツを構成しています.
線型代数の議論をしたとき, 微分の議論をしたとき,
関数論の議論をしたとき, 微分方程式の議論をしたとき,
いろいろなタイミングで随時紹介しています.

議論の個別の詳しさを重視する

これはもちろんふつうの教科書で重視される項目です.
しかし私の既存のコンテンツという立場で見ると,
私の既存のコンテンツとの差別化にはなっています.

私の既存のコンテンツは,
個々の議論は詳しい教科書に任せ,
いろいろな分野間をつなぎ,
その世界の広がりを感じてもらうことを目的にしていることが多いです.
そのため, 個別の詳しい議論はほぼ飛ばしています.
木を見て森を見ずの言葉にあるように,
細かいところが気になって世界の広がりが見えなくなってしまうからです.

しかし私の語り口や数学・物理への切り口が好きという方も多くいらっしゃるようです.
だから今回の PDF コンテンツでは,
私自身のコンテンツとして詳しい議論まで語り尽くすことにしました.

数学の大きな流れや世界観を俯瞰する

これは既に何度も紹介しています.
細かく詳しい議論をしているとどうしても大きな姿が見えづらくなります.
それを補完する工夫をしています.
ここでは探険パート以外の特徴を紹介しましょう.

まず各章ごとに最初にイントロダクションをつけ,
最後に復習回をつけています.
その章で何をどういう順番でどう議論していくのか,
大きな姿をお見せしています.

そして各回ごとにもイントロダクションをつけています.
その回じたいの姿も捉えやすくする意図があります.

もともと通信講座用のコンテンツとして使うことを意識しているので,
そこから来る特徴もあります.

学生と違い時間的な余裕がない大人が勉強しようと思うと,
どうしても細切れの時間で勉強する必要があります.
その中でどうしても流れを見失うことが多いので,
イントロダクション以外の各所にも,
流れがわかるようにコメントをたくさんつけています.

PDF コンテンツを辞書として使うときにもこれは役に立ちます.
ちょっと調べものをしようとしたとき,
本当に知りたいことを知るためには芋蔓式に記述を遡る必要が出ることがあります.
その芋蔓を辿り, 流し読みをするときにこうした細かい注意があると助かることが多いです.

これは私自身, 学習者でしたし,
今もいろいろなことを勉強し続ける学習者なので,
その経験を活かした構成でもあります.

細切れの時間で勉強しやすくしつつ,
大きな流れを掴みやすくする工夫としては,
節を細かく区切るという配慮もあります.

各回ごとに目次をつけているので,
その目次を見ることで細かい流れを節タイトルというレベルで理解できるようになります.
多いときは通信講座の 1 回分,
20 ページ弱の内容で 20 節を越えることがあります.

そして 1 節が短いので「あと 5 分, この節までは読み切ろう」
といった勉強時間の区切りもつけやすくなります.
数学は定義・定理・証明の流れがあり,
他の本と比べて本じたいに区切りが多く設定されているという特徴があります.
それをさらに徹底してさらに口に入れやすく,
小分けにした固まりをたくさん作っています.

物理との関係を重視する

これもここまでに何度かコメントしてきました.
量子力学の数理, 特に関数解析系の解析学への比重を強くしています.

これまで議論してこなかった点を補足しておきます.
それは量子力学の数理の守備範囲は恐ろしく広いことです.
有名どころでは超対称的量子力学と,
20 世紀を代表する幾何の大定理である指数定理との関係でしょうか.
こうしたところまで完全にカバーしようと思うと,
幾何にも強い比重を置く必要があります.

しかしこれはあくまで通信講座を元にした PDF コンテンツです.
通信講座をまともな期間におさめる兼ね合いから,
幾何を手厚く議論することはできません.
しかし, ここで探険パートが登場します.

本編で手厚く議論することは無理でも,
探険パートで関係する話題を適宜紹介していけば,
講座が終わるころには幾何に対しても一定の感覚が得られます.
PDF コンテンツとして辞書的に使うときにもこれは大きなメリットとして挙げられます.

解析学はそもそも物理の力学を議論するために発展してきた歴史的な経緯があります.
幾何にしても, 多様体論のおおもとは解析力学です:
座標の取り方によらない理論の構築という大目標のために生まれた理論です.
そしてこれは物理法則の共変性として相対性理論の基本的な指導原理にもなっています.
特殊相対論は線型代数の世界である一方,
一般相対論は完全に微分幾何の世界なので, やはり幾何が大事です.

最近では物性理論での幾何の応用もかなり定着しつつあり,
物理から幾何を見ることも標準的になりつつあります.
探険パートをうまく使いながら,
解析学がメインのコンテンツにも幾何を溶け込ませています.

さらに解析系で必要な位相空間論と,
幾何系で必要な位相空間論はだいぶ趣が違います.
解析系では線型位相空間が基本的な対象で,
一般的な位相空間論よりも線型位相空間論に特化した議論が重要です.
本当に解析学だけを,
そして最短経路で必要な数学をフォローすることを考えるなら,
そこだけにフォーカスして議論すべきです.

しかし, いったんある程度の数学的世界を眺め渡したあとに,
基本的な本を読んだり基礎事項をもう 1 度勉強するのはかなりの苦行です.
そして幾何をやる上で必要な議論はもっと一般的な位相空間論です.
だから通信講座, そして PDF コンテンツではかなりこってりと
一般的な位相空間論を議論しています.
抽象度も高く, 初学者が勉強するのが大変な分野なので,
じっくり議論しています.

位相空間論の基礎をしっかり固めているので,
位相幾何の意味でのトポロジーの本もすぐに読みこなせるレベルの内容を網羅的に扱っています.

もちろん幾何をはじめ, 代数なども今後の展開でフォローしていく予定はあります.
あくまでここで紹介する解析学編では扱いを軽くせざるを得ないというだけです.

例・反例を重視する

勘違いされているかもしれないため,
補足が必要でしょう.

例を議論するというと,
一般論・抽象論を理解するのが難しいから具体例を補足し,
イメージ豊かに対象を捉えられるようにするため,
というのが一般的です.
場合によっては一般論は完全に抜きにして,
具体例だけを議論することさえあります.

もちろんこの PDF コンテンツでもその視点は重要です.
しかし私はもっと積極的な意味を持たせています.

それは新たな数学的世界を切り開くための具体例という視点です.
例えば超関数論という大きな理論が生まれたのは,
物理, 特に量子力学でディラックが組織的に使った
デルタ関数を数学にきちんと取り込むためです.
具体例の存在が大きな理論を生み出す原動力になったのです.

これを見てもらえばわかるように,
物理をモチベーションにした具体例が数学の理論を生み出す原動力になっています.
数学学習に物理を重視する理由の 1 つでもあります.

他にも量子力学, 場の量子論, 量子統計力学と関係した,
物理の具体例をモチベーションにした数学の理論はいくつもあります.

上でも挙げたディラックのデルタ関数は,
古典力学, 電磁気をはじめとして基礎物理のあらゆる場所で使われます.
そしてデルタ関数にまつわる数学を議論するだけで,
学部 4 年程度までの解析学はほぼ全てカバーできます.
関数解析系だけではなく,
代数の色彩が強い代数解析系ですら深い関係があります.

適切な具体例を取り上げることはこのくらいのパワーがあります.
これ以外にもある理論・定理・命題・具体的な証明などで,
ポイントを突いた例を挙げていきます.

例を作るなかで特に重要な要素として挙げたいのが,
反例の構成です.
反例を作ることは真にクリエイティブな営みです.
例えばある予想に対してその反例を作ることそれ自体が論文として成立するというレベルです.

有名な例としては,
ヒルベルトの第 14 問題は永田雅宜が反例を作って解決したことでしょうか.
例, 特に反例を作ることは最前線の研究にすら直結する営みです.
ここまでの視点を持った上でいろいろな具体例を紹介しています.

章立て

そろそろ具体的な章立てを紹介します.
細かなコメントの前にまずはリストアップしてしまいましょう.
勉強すべき項目のマッピングとして役立ててもらうことを考え,
少し細かめに書いておきます.

  • イントロダクション
    • 数学学習を続けるための心構え
    • 推薦図書
    • 基本的な記号集
    • 数学記号や式の読み方
    • 数学者・物理学者の名前の読み方
    • 数学や物理の英語表現集
    • 質疑応答集
  • 集合論
    • 集合演算の基礎
    • 写像の定義といろいろな写像
    • 写像の基本的な性質
    • 濃度
    • ツォルンの補題
    • 数学的間奏: 代数学ミニマム
  • 実数論
    • 切断による実数の定義
    • 実数の連続性
    • 開集合, 連続写像, イプシロン-デルタから位相空間論へ
    • 実数の連続性と同値な命題
  • 位相空間論
    • 定義
    • 連続写像
    • 位相の生成
    • 具体例としての距離空間, そして距離関数の基本的な性質
    • 積位相とその一般化としての誘導位相
    • 商位相とその一般化としての像位相
    • 分離性, 特にハウスドルフ空間
    • 連結性
    • コンパクト性
    • フィルターの基礎理論: コンパクト性の理解のために
    • 距離空間論, 特に完備性を中心に
    • 位相空間と可算性
    • 完備な距離空間論の応用: 常微分微分方程式の解の存在と陰関数定理
    • 数学的間奏: 微分・偏微分の定義
  • ルベーグ積分論
    • 可測空間・測度空間
    • 可測関数とその積分
    • ルベーグ積分論の基本定理・基本不等式
    • $L^p$ 空間論の基礎
    • フビニの定理
    • 無限積測度空間
    • ラドン-ニコディムの定理
    • 測度の存在と一意性
    • $\mathbb{R}^d$ 上のルベーグ測度
    • リース-マルコフ-角谷の定理
    • ルベーグ積分とリーマン積分
    • 積分の変数変換
    • $\mathbb{R}^d$ 上のルベーグ積分論, $L^p$ 空間論
    • フーリエ解析の基礎
    • 超関数論・ソボレフ空間論入門
  • 関数解析
    • バナッハ空間論
    • ヒルベルト空間論
    • 作用素論
    • 発展的な諸定理
    • テンソル積ヒルベルト空間: 場の量子論・量子統計を意識して
  • 関数論ミニマム
    • 留数定理までの一連の流れ
    • あとで使う定理の議論: リュウビルの定理など
  • スペクトル理論
    • 作用素のレゾルベント
    • スペクトルの定義, 諸性質
    • 具体例の議論: 量子力学で出てくる作用素のスペクトル解析
    • スペクトル分解
    • コンパクト作用素小論
  • 微分方程式論
    • 常微分方程式論: 解の存在と一意性を中心に
    • 偏微分方程式論
      • ソボレフ空間論
      • 変分法
      • シュレディンガー方程式
  • 微分論
    • 基本的な定義
    • 方向微分・偏微分
    • 極値問題
    • テイラーの定理
    • 多変数の微分法, 特に逆写像定理・陰関数定理
  • ベクトル解析
    • 物理ベースの概論
    • 局所理論としての線型空間論, 外積代数
    • $\mathbb{R}^n$ 内の多様体論
    • 微分積分学の基本定理の一般化: ストークスの定理

パッと見, 線型代数がないことに気付かれたかもしれません.
線型代数は必要なところで必要な内容を補うことにして,
特別な一章を作っていません.
組織的な展開という意味では,
関数解析と作用素論の章がある程度対応しているとは言えます.

このくらいを知っていれば解析系の数学科学部生と十二分に渡り合えます.
この内容だけを見ると代数系は明らかに弱く見えるでしょう.
しかし探険パートのところどころで代数幾何に関する話や,
表現論に関する話, 作用素環に関わる話をしています.
そこを切っ掛けに代数に対して一定の感覚は掴めるように,
という配慮があります.

群や環の例,
そして解析学での具体的な手触りがあるだけで,
純粋な代数を勉強するときに助けになります.
ベクトル解析を幾何的に整備する中で出てくる
ホモロジー代数から代数に入っていく道もあるでしょうし,
そうした道筋も探険パートで何度となく紹介しています.

将来的には代数編や幾何編も作る予定ではいますが,
いまできること, そして他の数学の分野に比べて 1 番馴染みが深い解析学から
「数学」に入っていくための道を探険パートの各所で案内しています.

そしてもっと深く勉強するための参考にしてもらうべく,
ネットで誰でもダウンロードできる論文・プレプリント含め,
参考文献はたくさんつけています.
解析学だけでなく, 代数や幾何の文献案内もつけています.
他の講座やホームページでも文献リストを出しているので,
ぜひ合わせて使い倒してください.

どのように展開するのか

ここまで PDF コンテンツの中身,
そしてそこから派生するサービスに関してこってり紹介してきました.
ここからはサービスとしての PDF コンテンツ販売の展開の仕方を紹介します.

あなたがこの長いページを隅から隅までくまなく読んでいるとも限りませんし,
何よりも大事なことは何度でもの精神で,
大切なことはここでもくり返し強調します.

特色

やはり 1 番は物理のために必要な数学を,
数学的に厳密な形で, 1 セットで提供するというコンセプトです.
そしてここで設定した「物理」は,
超弦理論のような本当にハードな数学科の数学が必要な物理まで見込んでいることです.

そして通信講座で使ったコンテンツを元にしているのも特長です.
いろいろな都合で途中で辞めてしまう方もいらっしゃるので,
早いうちからいろいろな分野との関係を積極的に議論しています.

数学学習を系統的に続けていく,
という配慮のためにある最初のイントロダクションの 1 章も重要です.
ここではそもそも何故数学を勉強したいのか?
といったことの確認や数学を勉強する心構えに関しても書いてあります.
いわゆるモチベーションに対する問題です.

コンテンツ配信形態

メールで PDF コンテンツのダウンロードリンクをお送りするので,
そこから電子ファイルをダウンロードしてもらいます.
紙の実物をお送りしたりはしません.

そのため, あなたに Gmail など
電子メールのアカウントを持っておいて頂く必要がありますし,
PDF を読めるデバイスが必要です.

具体的にはスマホかタブレット,
またはパソコンとインターネット接続環境が必要です.

こうした形態を取る理由の 1 つは,
3000 ページを越えたコンテンツを紙媒体で持ち歩くのが
非現実的だからです.

そして現代の事情を考えた上で,
PDF で提供する最大のメリットは持ち運びが簡単なことだと考えています.
もちろんスマホやタブレット利用を前提にしています.

ちょっとした隙間時間にも勉強してほしいですし,
むしろ大人が勉強するためにはそうした隙間時間の有効活用こそが鍵です.
ほしいときにいつでも取り出せるように,
まず肌身離さないデバイスであるスマホに持ち込めることを重視しました.

これ以外に, 辞書として使ってもらうことを考えた配慮もあります.
それは PDF にすることで電子的に検索できるようになることです.
もちろん目次や索引もつけてはいますが,
全文検索で探せるのは間違いなく大きなメリットです.

他にも PDF にしたメリットとして,
定理や定義への参照にリンクをつけていることがあります.
必要だったらすぐに参照先に遷移できます.

サポート内容

当然のことではあるものの, きちんと書いておくべきこととして,
PDF コンテンツの内容に関する質問はもちろん受け付けます.
単純に読んでいてわからないことがあった場合はもちろん,
コンテンツの記述の間違いによる問題もあるでしょう.
気になる点については気軽にメールで質問してください.
通信講座のコンテンツのリリース前にきちんと見てはいるものの,
実際に間違いは防げておらず, 誤植の指摘が入っています.

ただ, 次の点にはご注意ください.

  • 大学の数学科レベルの数学であり, 本質的に難しい内容ばかりです.
    質問に対してもすぐに回答できる内容は少ないでしょう.
    回答までの期間はどうしても長くなる可能性があります.
  • PDF コンテンツ以外の学習相談をして頂いても構いませんが,
    内容によってはお答えしない・できないことがあります.
    例えば私が作った PDF コンテンツ以外のコンテンツ以外への質問は原則としてお受けできません.
    もちろん「ある本にはこう書いてあり, それはこの PDF の記述とは矛盾するようだ.
    どう理解すればいいのか」といった質問にはきちんと回答します.

次の点にもご注意ください.

  • 通信講座ではポイントによって宿題添削も受けつけています.
    しかし PDF コンテンツ販売ではそうしたサービスはありません.
    送って頂いても構いませんし, 特に例・反例作成系の宿題については面白ければ他の受講者にも紹介したいので,
    その意味で何かしらのリアクションは取ることはありえます.

要望が多ければ, リアルの勉強会など,
付随するサービスもいくつかやってみようかと思っています.

更新連絡

読者の方からの質問や誤記の訂正があります.
それ以外にも勉強のサポートになるような
補足コンテンツも随時追加しています.

これらに関しては, ある程度まとまった段階で
都度メールで更新連絡を入れます.

これに関して大事なことがあります.
メールの配信環境は刻一刻と変わっていて,
せっかくの更新通知が迷惑メールに入ってしまうこともあります.
購入された場合, 最初に迷惑メールに入らないようにするための設定手順をお送りするので,
必ずその設定をお願いします.
初回メールそのものが迷惑メール扱いされる可能性すらあるので,
購入時にメールが来ない場合が迷惑メール扱いされていないかご確認ください.

参加条件

参加条件はありません.
ここまでに案内した内容・方法で数学を勉強したい全ての方にコンテンツを提供します.
ぜひ積極的に参加してください.
ふつうに本を買うつもりで気楽に参加・購入してください.

購入すべき人

あなたがここまでに説明してきた内容に共感できるなら,
ぜひとも購入するべきです.
改めて箇条書きでまとめておきましょう.

  • 既存の本は本ごとに前提知識が違うため, 予備知識とされる分野は勉強済みなのにその分野の知らない知識が必要になって読みたい本が読めない.
  • お勧めの本をたくさん紹介されたはいいものの, では具体的にどの本をどんな順番でどう読めばいいかわからない.
  • 勉強したい分野があってそのための基礎として勉強してはいるが, いま勉強していることが先々でどう活かされるかわかればもっと基礎の勉強だって楽しくなるのに, と思っている.
  • 勉強した内容が物理などの応用分野で具体的にどんなところでどう活きているかを理解しながら勉強したい.
  • 勉強した内容がどんなおもしろい分野や事実と関係があるか, 数学の世界の大きな関係を見ながら勉強したい.

こちらは通信講座と違い,
数学科や物理学科の学生にもお勧めできます.
それはまさに辞書としての利用をお勧めしたいからです.
具体的な応用先や応用法も書いているので,
大学の図書館で文献探索してみたり,
先輩や教官に相談するときにも 1 つ参考になるでしょう.

特にあなたが数学と物理をまたにかけた世界を見たいなら,
必ずや得るところのあるコンテンツになっています.

中高生のあなたへ

このコンテンツはむしろ中高生にこそお勧めしたいと考えています.
それはあなたが灘や開成のような超進学校の生徒でもない限り,
触れられる情報や情報源それ自体が極めて少ないからです.

いろいろなところで何度も書いていることですが,
ここでも改めてお話しておきます.
これは私が中高生の頃の実感でもあるからです.

浪人したり紆余曲折あって早稲田大学に入り,
大学院での東大進学や時を経ていろいろな超進学校の面子と付き合うようになって思ったことがあります.
一言で言えば環境の問題です.
恐ろしく専門的で並の大学院生くらいでようやく触れるような世界であっても,
彼ら/彼女らは中高生でそれを体験していることです.

「環境」の中身はいろいろあります.
そのうちの大きな 1 つに,
やはり触れられる情報の質と量があります.
中高の学校の勉強に留まらず, もっと難しいことをやってみたい,
広い世界を知りたい, そう思っても何をどう調べればいいのか,
といったレベルからしてわかりません.

いまの中高生はネットがあるからいくらでも調べられるだろう,
あなたはそう思っているかもしれません.
しかし, よくネットで言われているように,
知らないことは調べられません.

大学レベルの数学のことが知りたいと言って,
それで検索しても情報が多すぎてほしい情報にアクセスすること自体に知識と経験がいります.
中高生から見てサポートしてくれる大人がまわりにいる保証もなければ,
いたとしてもそれに気づけるかどうか,
という問題もあります.

実際, 中高生の頃の私は学校の先生に相談してみる,
という発想そのものがありませんでした.
聞けていればまたいろいろな情報を教えてくれたと思うのですが,
そもそもその発想じたいがなかったのです.

言いはじめるときりがありません.
しかし, おそらく想像を絶するほど,
ほしい情報へアクセスするのは難しいことです.

この PDF コンテンツではある程度そうした情報にまとめてアクセスする手段,
それ自体を提供します.
コンテンツ詳細で「イントロダクション」の章を 1 章とし,
そこにも料金をかけている理由はここにもあります.

例えば数学の英語,
数学情報の検索の仕方,
数学を勉強する上で見落としがちなこと,
そして一通り大学院まで進学し,
その後社会に出て大学の資源が使いづらくなって実感したことなど,
数学の勉強を続ける上であまり言及されないこと,
しかしその実, 非常に重要なことがたくさんあります.
そうした情報も紹介していきます.

もう 1 つ, とても大事な要素があります.
よくも悪くもお金を払ってコンテンツ,
ひいてはサービスを購入していることです.

実際に次のようなコメントを頂くことがあります.

無料でこれだけいいコンテンツを出してもらっているのに,
追加でいろいろ質問するのは申し訳ない気分になる.

極端に言えば, 私が無料でサービスを提供してしまっているせいで,
もしかしたら受け取れたかもしれない,
そして喉から手が出るほどほしい情報にアクセスできずに
人生を終えてしまう方がいるのかもしれない状況があるわけです.

「お金を払ったんだし, このくらいしてもらっても罰はあたらないだろう」,
そういう状況を作るべく,
あえて有料で展開しています.
ぜひ積極的に私を使い倒してください.

気になるお値段は?

まずは単刀直入に結論から書きましょう.
この PDF コンテンツは44,000円で提供します.

この金額設定に関してもう少し詳しく説明します.
具体的には 1 章ごとに 4,000 円という料金体系です.
1 章の長さには長短があり, 100 ページ程度の章もあれば,
600 ページを越える章もあります.
しかしその個々のボリュームによらず,
1 章は一律 4,000 円とします.

これは通信講座の料金コンセプトとも関わります.
通信講座は「毎月 1 冊の本を買う」と思ってもらった料金として,
毎月 4,000 円でサービスを提供しています.

そして 1 章ごとに集合論, 位相空間論, ルベーグ積分論のようになっていて,
ふつう 1 冊の本で提供されるレベルの章構成になっています.
それに合わせて 1 章 4,000 円で計算することにしました.

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もしあなたが
この現代数学探険隊で勉強したい,
仲間を作りたい,
そんなあなたはぜひ勇気を持って 1 歩を踏み出してください.

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このコンテンツを購入することで得られる未来

章の長短があるとは言え,
平均して考えれば 1 章 4,000 円は十分妥当な金額です.

しかし, まとめて 40,000 円を越える金額になると思うと,
どう控えめに言っても安い金額ではありません.
あなたが購入を躊躇されるのも無理はありません.

そこでこのコンテンツを購入することでどんな未来が待っていて,
何を得られるのか, 改めて説明します.
端的に箇条書きでまとめると次のようになります.

  • 他書を参照しなくても一気通貫で集合論, 実数論, 位相空間論, ルベーグ積分論, 関数解析, 作用素論, スペクトル理論, 微分方程式論, 関数論, 微分・変分, ベクトル解析の情報がまとまっている.
  • コンテンツ, 特に本編で使う定理は原則として全て証明をつけるので, 既存のいろいろな本を読むときに「この定理は勉強したことがない!」といった他書参照や他書探索の必要がなくなり, 勉強しやすくなる.
  • PDF で提供するので, スマホやタブレットがあれば, たくさんの本を実際に持ち歩かなくてもいつでも「本」が参照できる.
  • 索引以外に PDF のテキスト検索もあるので, 辞書としての利用が便利.
  • 定理には番号が振られているため, その番号や定理名で全文検索することで, その定理がどんなところでどう使われているか具体的な活きた姿が見られる.
  • 各回の探険パートで物理に関わる周辺知識や現代数学での活きた姿, 特に 2018 年時点での研究レベルの内容も紹介しているので, 数学の大きな世界観や物理との豊かな相互作用を意識しながら勉強できる.
  • 自分が勉強したい分野といま勉強している分野に関して, もっと深い関係が知りたいとき, 相談できる相手がいる.

このコンテンツを購入しないことで待ち受ける未来をあえて書くなら,
上の事実の裏返しとして次のようにまとめられます.

  • 基本的な事から専門的なことまで, いろいろな本を探して揃えなければいけない.
  • いま勉強している定理やトピックがどのくらい重要なのか見えないまま数学の勉強を続けなければいけない.
  • ある本を読もうとしたとき, そのときの自分の知識ではカバーしきれないことがあるとそれが書いてある本を探しにいかなければならない. そして専門的な数学書が売っている本屋は大学生協か大きな書店くらいしかなく, 図書館にしても大きなところでなければ置いていない. Amazon で売ってはいても, 中身を詳しく見ることができないので目当ての定理が載っているか, 自分にとってわかりやすい形で書かれているか確認できない.
  • 既存の書籍には横断検索する方法がないので, 雑にでもいったん全体を読み込まないとどこに何が書いてあるかわからない. ある程度数学への習熟があれば目次と索引で目処がつく部分はあるが, そんな力があるならはじめから本の選択や勉強で苦労しない.
  • 自分が本来勉強したいことと今勉強していることの関係も見づらく, 自分が正しい道を歩いているかわからない中で勉強する必要があり, モチベーションも保ちづらい.

細かく挙げればきりはありませんが,
大まかにはこんなところでしょうか.

これは今までの活動の中で実際に私が相談を受けてきた内容ですし,
私自身が学生時代に苦しんだことでもあり,
今の私自身が何かを勉強するときに苦労することでもあります.

そうしたノウハウを詰め込んだコンテンツです.
辞書としての利用をお勧めしているように,
あなたが既にお持ちの本やコンテンツと併用することも意識していますし,
既存の本で抜け落ちている要素も盛り込んでいるので,
似たような分野の本を持っていた上でこのコンテンツを買うことも全く無駄ではありません.

ぜひともに数学の世界を探険しましょう.

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まず何をするべきか

ここまでこのページを読み進めてきたあなたに必要なのは決断です.

この PDF コンテンツが必要なら必要と,
必要ないなら必要ないとはっきり決断してください.

実際, この PDF の内容それじたいに
本質的に新しい内容があるわけではありません.

この PDF がなかったとしても,
数学や物理の勉強をする上で本質的に困るわけではありません.
他のコンテンツやサービスを使ってもカバーできる内容です。
「やっぱり買おうかな, どうしようかな」と迷っている時間が
1 番もったいないです.

迷うのは時間も使いますし,
それより何より意志力が消耗します.
いまここで決断して前に進みましょう.

その前に進む友としてこのコンテンツを,
ひいては私を選んでくれるなら,
こんなに嬉しいことはありません.
一緒に進んでいきましょう.

もちろん, あなたがこれを買わなかったからといって,
私との縁が切れるわけでもありません.
これからも私が必要と思ったコンテンツやサービスを提供していきますし,
それ以外にも私が日常的に勉強を続け,
世界を広げていく様子もお見せします.

ぜひそれを見て取り,
使えるもの・参考になるものはどんどんあなたの生活に取り込んでいってください.

登録後の注意

講座の教材 PDF はメールでお送りします.
システム会社とも契約してできる限りの対策は打っているものの,
登録後にお送りするメールを確認して,
迷惑メール対策をお願いします.

章の追加など, 適当なタイミングで更新の連絡も入れます.
そうした情報をきちんと受け取れるようにするための大事なステップです.
ぜひこの一手間を惜しまずご対応ください.

追伸

もしあなたが
この現代数学探険隊で勉強したい,
仲間を作りたい,
そんなあなたはぜひ勇気を持って 1 歩を踏み出してください.

最後にこの PDF コンテンツで扱う内容と
申込リンクを再掲します.

  • イントロダクション
    • 数学学習を続けるための心構え
    • 推薦図書
    • 基本的な記号集
    • 数学記号や式の読み方
    • 数学者・物理学者の名前の読み方
    • 数学や物理の英語表現集
    • 質疑応答集
  • 集合論
    • 集合演算の基礎
    • 写像の定義といろいろな写像
    • 写像の基本的な性質
    • 濃度
    • ツォルンの補題
    • 数学的間奏: 代数学ミニマム
  • 実数論
    • 切断による実数の定義
    • 実数の連続性
    • 開集合, 連続写像, イプシロン-デルタから位相空間論へ
    • 実数の連続性と同値な命題
  • 位相空間論
    • 定義
    • 連続写像
    • 位相の生成
    • 具体例としての距離空間, そして距離関数の基本的な性質
    • 積位相とその一般化としての誘導位相
    • 商位相とその一般化としての像位相
    • 分離性, 特にハウスドルフ空間
    • 連結性
    • コンパクト性
    • フィルターの基礎理論: コンパクト性の理解のために
    • 距離空間論, 特に完備性を中心に
    • 位相空間と可算性
    • 完備な距離空間論の応用: 常微分微分方程式の解の存在と陰関数定理
    • 数学的間奏: 微分・偏微分の定義
  • ルベーグ積分論
    • 可測空間・測度空間
    • 可測関数とその積分
    • ルベーグ積分論の基本定理・基本不等式
    • $L^p$ 空間論の基礎
    • フビニの定理
    • 無限積測度空間
    • ラドン-ニコディムの定理
    • 測度の存在と一意性
    • $\mathbb{R}^d$ 上のルベーグ測度
    • リース-マルコフ-角谷の定理
    • ルベーグ積分とリーマン積分
    • 積分の変数変換
    • $\mathbb{R}^d$ 上のルベーグ積分論, $L^p$ 空間論
    • フーリエ解析の基礎
    • 超関数論・ソボレフ空間論入門
  • 関数解析
    • バナッハ空間論
    • ヒルベルト空間論
    • 作用素論
    • 発展的な諸定理
    • テンソル積ヒルベルト空間: 場の量子論・量子統計を意識して
  • 関数論ミニマム
    • 留数定理までの一連の流れ
    • あとで使う定理の議論: リュウビルの定理など
  • スペクトル理論
    • 作用素のレゾルベント
    • スペクトルの定義, 諸性質
    • 具体例の議論: 量子力学で出てくる作用素のスペクトル解析
    • スペクトル分解
    • コンパクト作用素小論
  • 微分方程式論
    • 常微分方程式論: 解の存在と一意性を中心に
    • 偏微分方程式論
      • ソボレフ空間論
      • 変分法
      • シュレディンガー方程式
  • 微分論
    • 基本的な定義
    • 方向微分・偏微分
    • 極値問題
    • テイラーの定理
    • 多変数の微分法, 特に逆写像定理・陰関数定理
  • ベクトル解析
    • 物理ベースの概論
    • 局所理論としての線型空間論, 外積代数
    • $\mathbb{R}^n$ 内の多様体論
    • 微分積分学の基本定理の一般化: ストークスの定理

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では次はコンテンツの中でお会いしましょう.

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