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かもさんから 素敵なコメント を頂いたので.

冪根を使って有理数に対して定義された指数関数がQ上で連続であることが、全然、明らかなことではありません。

ちなみに、赤攝也『実数論講義』
http://www.nippyo.co.jp/book/6556.html
も、冪根を使ってQ上で定義した指数関数をRに拡張する方法でR上の指数関数を定義していますが、凸関数の性質を使った長い議論でR上の連続性を証明しています。

Amazon のリンクも張っておこう.

かもさんのコメントにもコメントを返しているが,
きちんと確認も適当なことを言ってはいけないと反省した.
こういうのを見るとさすが教官は認識の深さが違うな, と改めて思う.
感銘を受けた.