カテゴリー: 数学

Manjul Bhargava は驚くほど美しい数学を生み出している.
しかしその大半は私の専門分野ではない.
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前回と同じく, 地の分の「私」は Terence Tao のことだ.
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私の興味と重なる分野 (ランダム行列の理論だ) での彼の仕事として
彼が多くの共著者と進めている楕円曲線のさまざまな数論的特徴の
統計的性質のモデリングがある.
これには予想の定式化も厳密な仕事もある.
具体的にはランクや Selmer 群や Tate-Shafarevich 群の研究だ.
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ランダム行列, 何となく確率論と線型代数の話か,
と思っている人もいるかもしれないが, かなりの魔界だ.
とりあえず Wikipedia を張っておこう.
http://goo.gl/ttiQId
【現在では核物理学のほかに, 量子カオス, 固体物理学,
統計力学, 数論, 生態学, 遺伝子工学, 金融工学, 無線工学,
複雑ネットワークなどの研究で応用されている. 】とのこと.
このとおり, 物理でも数学でもいろいろなところで出てくるし,
以前東大数理で毎年開かれている Summer School 数理物理でも
ランダム行列の話題が出たときがある.
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/mp2005.htm
ほとんど名前だけしか知らないが, Wigner の半円則がとりあえず有名.
立川さんの YouTube でのミニ講義を紹介しておこう.
http://goo.gl/pCJ1zL
ちょっとググったら次のような PDF も出てきた.
http://web.mit.edu/18.338/www/Acta05rmt.pdf
http://cims.nyu.edu/~zeitouni/cupbook.pdf
http://terrytao.files.wordpress.com/2011/08/matrix-book.pdf
目次を眺めただけだが, 超幾何に Painlevé も関係するらしい.
自由確率論は作用素環ネタで, それは上記
Summer School 数理物理でも出てきた話で,
九大の植田さんがやっていたりする.
Golden-Thompson 不等式は私も使ったりする.
量子統計で使うのだ.
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例えば Kane, Lenstra, Poonen, Rains との共著
http://arxiv.org/abs/1304.3971
では, これら統計的性質の全てを予想するランダム行列モデルを提出している.
例えば Tate-Shafarevich 群の \(p\)-要素 が,
ある \(p\) 進ランダム行列の余核のように分布することを予想している.
これは以前のポストで議論した Cohen-Lenstra の発見的議論の精神に沿った話だ.
http://terrytao.wordpress.com/2009/10/02/at-the-austms-conference/
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predict の訳語がよくわからない.
アブストで conjecture という単語が踊っているので,
予想にしてはおいたのだが, それなら conjecture にするのでは, という気もする.
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しかしさらに強く印象的なことは, Manjul と共著者達が
このモデルに関していくつか非自明な事実 (例えば,
あるモーメントが予想された漸近的な性質を満たす) の証明に成功していることだ.
はじめてこれらの様々な統計的性質の非自明な上下界を与えている.
例えば楕円曲線がどのくらいの頻度でランク 0 になるか
ランク 1 になるかの下限を得ている.
また最近, Gross-Zagier
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr%3D833192
や Kolyvagin,
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr%3D1106906
そしてその他の人達の仕事と合わせて, Skinner と Zhang との共同研究
http://arxiv.org/abs/1407.1826
で驚くべき結果を導いている.
それは (高さで順序づけられた) \(\mathbb{Q}\) 上の全ての楕円曲線のうちの
少なくとも 66% が Birch Swinnerton-Dyer 予想にしたがうという結果だ.
http://goo.gl/9MJncq
以前は曲線の positive proportion が予想にしたがうことすら知られていなかった.
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何を言っているのかさっぱりわからない.
訳も正しいのかわからない.
大変困っている.
Positive proportion, この場合どう訳したものか.
それはそれとして, Birch Swinnerton-Dyer 予想は
リンク先の Wikipedia にもある通り,
ミレニアム問題の一角なので超がつくレベルの難問だ.
予想の定式化からして何を言っているのかわからない.
あと上で Kolyvagin が出てきたが,
これは Wiles による Fermat 予想の解決で使われたとかいう
Kolyvagin-Flach method の Kolyvagin だろうか.
http://goo.gl/w0dFfS
Wikipedia を見ていて, Wiles ももう 60 を越えているのか,
と時の流れを思いつつ, 下の方にこの Bhargava が学生だと
いう記述を見つけ, 感慨にふけった.
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予想の完全解決にはまだ道程はある.
特にランク 2 以上の少数の曲線に関してはまだ理解が進んでいない.
そして Bhargava 達の仕事で使われている Gross-Zagier,
Kolyvagin の理論は \(\mathbb{Q}\) 以外の体では使えない.
しかし少なくとも統計的な意味で予想は
射程圏内にあるという望みは与えている.
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最後の一文, 訳があっているのか非常に不安だ.
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Martin Hairer は確率論と偏微分方程式の狭間で仕事をしている.
特に確率微分方程式の理論が専門だ.
私の興味と一番近い彼の結果は Jonathan Mattingly との共同研究による,
2 トーラス \({\bf R}/{\bf Z})^2\) 上の
2 次元確率 Navier-Stokes 方程式に対する不変測度の一意性に関する優れた仕事だ.
\begin{align} \partial_t u + (u \cdot \nabla u) = \nu \Delta u – \nabla p + \xi \\ \nabla \cdot u = 0 \end{align} ここで \(\xi\) はランダムネスの源泉となる固定した振動数の集合を走る Gauss 場だ.
Mattingly のページ: http://fds.duke.edu/db/aas/math/faculty/jonm/
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最後の一文, 相当意訳した.
元の文は【where {\xi} is a Gaussian field
that forces a fixed set of frequencies】だ.
Force がよくわからないが, 普通の
Navier-Stokes にランダムネスを入れる項なのだろうということで.
原論文はこれだろう.
http://arxiv.org/abs/math/0406087
arXiv をあさっていたら Hairer もエルゴード関係の仕事をしている.
今回はエルゴード祭りか.
そもそも Navier-Stokes だが, これは流体力学の基礎方程式だ.
Navier-Stokes 方程式の解の存在と滑らかさについては
有名なミレニアム問題として取り上げられている.
つまり魔界.
http://goo.gl/uu0DBz
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任意の適当に性質がいい初期値に対して,
この方程式の解は漸近的に Kolmogorov のべき乗則にしたがって
分布すると期待されていた.
これは以前のポストでも議論した通りだ.
http://goo.gl/49NuMp
Dyadic モデルに対しては, Cheskidov, Shvydkoy, Friedlander らによる
この方向の結果 http://goo.gl/N2pfQH はあるものの,
問題解決には程遠い状況だ.
しかし Hairer と Mattingly はほとんど全ての初期値に対して
漸近的に収束していく一意的な確率分布の存在証明に成功した.
エルゴード定理によれば, これはフローに対する
不変測度の存在と一意性を示すことに等しい.
存在は標準的な方法で示すことができるが一意性は難しい.
一意性を示す標準的なルートの 1 つは強 Feller 性を示すことだ.
これで推移作用素にある種の連続性を与えられる.
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あとで分かるが, この論法はそのままでは成立しない.
以下しばらく英語では仮定法で話が続いている.
それはそれとして, 非数学の人向けに言っておくと,
数学では状況に応じていろいろな連続性を使い分ける.
教養レベルでも普通の連続と一様連続が出てきたと思うが,
Lipschitz 連続とか Hölder 連続とか絶対連続というのもある.
あと Feller は『確率論とその応用』を書いた
確率論で有名な例の人だろう.
概念に自分の名前が付く学者, やはり魔人だと言わざるを得ない.
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とりわけ, これは 2 つの交差する台を持つエルゴード測度が
実際には非自明な共通要素を持つことを意味する.
これはエルゴード定理に反する.
そして異なるエルゴード測度は互いに特異になってしまう.
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【have a non-trivial common component】の部分,
数学的に正確な主張を知らないと多分きちんと訳せないのだが,
論文追うのはつらいので断念した.
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Navier-Stokes に対する全ての エルゴード 測度は
台として原点を含んでいることがわかるので, これで一意性を示すことができる.
不幸なことに強 Feller 性は Navier-Stokes に対する
無限次元の相空間で成立しそうにない.
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以上, ここで仮定法が途切れる.
無限次元の相空間というのは何なのだろう.
無限次元化は微分方程式論由来なのか,
確率論由来なのか, その辺も気になる.
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ここで Hairer と Mattingly はこれに対応する,
すっきりとした抽象的な代替理論を作った.
彼らは漸近的強 Feller 性と呼んでいるが,
推移作用素の正則性に関する性質だ.
Malliavin 解析を注意深く使うことでこれを示している.
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Malliavin も非常に有名なフランスの数学者で,
もちろん確率論の人だ.
http://en.wikipedia.org/wiki/Paul\_Malliavin
Malliavin 解析は私でも名前は知っているクラスに有名.
arXiv を見ていて
On Malliavin’s proof of Hörmander’s theorem のコメントに
http://arxiv.org/abs/1103.1998
【Comments: Dedicated to the memory of Paul Malliavin】
とあったのでちょっと調べてみたら,
Malliavin は 2010 年に亡くなっていたようだ.
知らなかった.
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Maryam Mirzakhani は Teichmüller タイプのモジュライ空間の
幾何とダイナミクスに集中して仕事をしている.
例えば種数と尖点の数を固定した (または決まった長さを持つ測地線からなる
境界の数を固定した) Riemann 面のモジュライ空間だ.
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モジュライ空間, 現代幾何学の中心的な研究対象らしいので
良く聞くのだがいまだによくわかっていないというか
そもそも勉強していない.
あまり楽しい話ではないが, Teichmüller というと
ナチスに参加していたという話をどうしても思い出す.
http://en.wikipedia.org/wiki/Oswald\_Teichm%C3%BCller
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これらの空間は (Weil-Peterson 計量による
Kähler 幾何のような) 幾何構造から, (Riemann 面または
関連する空間上の写像類群の作用による) 力学系の構造,
(空間を代数多様体と見ることによる) 代数構造と
非常に豊かな構造を持ち, 幾何や力学系での
他の多くの面白い題材との繋がりがある.
http://en.wikipedia.org/wiki/Weil-Petersson\_metric
http://en.wikipedia.org/wiki/Mapping\_class\_group
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この間も書いたが, まず Riemann 面の理論は
\(\mathbb{C}\) 上の代数曲線論であってその時点で魔界だ.
その上でさらに豊富な構造を持っているなら
大体何でも関係してくるだろうし, 正に「数学」という趣がある.
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例えば, 下記論文でこの空間の Weil-Peterson 体積に対する
新しい再帰的な公式を作ることで, Mirzakhani は
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2264808
下記論文で双曲平面内のある閾 \(L\) 以下の長さの
単純な prime geodesics の数を
漸近的に数えることに成功した.
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2415399
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prime geodesics, どう訳せばいいのだろう.
Geodesics はもちろん測地線が, prime が謎.
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(より正確には Mirzakhani は写像類群の
決まった軌道の上記測地線の数の漸近公式を得た. )
解は \(L\) の多項式になっていて, \(L\) の指数関数に漸近してしまう
非単純な prime geodesics の遥かに大きなクラスに対する結果とは対照的だ.
(非単純な場合の結果は Delsart, Huber, Selberg, and Margulis らによる
古典的な一連の仕事, “測地線に対する素数定理” として知られている. )
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Delsart と Huber は知らないのだが,
Selberg と Margulis は私でも名前を知っている魔人だ.
Selberg は数論で顕著な業績があるので, こちらは知っている人も多いだろう.
素数定理と言っているくらいだから,
prime geodesics は素測地線と訳してもよさそうな気はするが
違う定訳があるとまずいのでそのままにする.
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彼女はまたこの公式を下記論文で Kontsevich がはじめて示した
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1171758
交差数に関する Witten 予想の新たな証明を与えるのにも使った.
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1144529
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Witten も Kontsevich も Fields メダリストなので魔人.
超弦理論まわりの数学で獅子奮迅の活躍をしている.
やばい.
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最近, Eskin と Eskin, Mohammadi との 2 つの長い共著論文で
http://arxiv.org/abs/1302.3320
http://arxiv.org/abs/1305.3015
Mirzakhani は上記モジュライ空間上の
\(SL_2 (\mathbb{R})\) の作用に対する剛性定理を証明した.
これはべき単生成群に対する Ratner の剛性定理類似だ.
(これは以前のブログで議論した. )
http://terrytao.wordpress.com/2007/09/29/ratners-theorems/
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前者の論文, 172 ページとかあってやばい.
あと \(SL_2(\mathbb{R})\) はやはり魔界だった.
剛性定理というのは数学で一般的にある定理だ.
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigidity\_(mathematics)
群作用とあわせて幾何で出てくるときは,
だいたいその多様体 (空間) の対称性を表す群が小さいという主張だ.
例えば複素多様体は複素構造自体が珍しいため,
それを保つような変換ははじめから少ないはずで,
そこから複素多様体は固いと言える: 要は剛性がある.
一方, 測度空間上, 保測変換はその性質上めちゃくちゃ柔らかいと思える.
何せ面積・体積にあたる測度さえ保っていればいいので
連続性さえいらない暴力的な変換も許される.
そういう感じの話をするのが剛性問題だ.
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Ratner の定理は証明が難しいので悪名高く,
べき単流の多項式安定性に非常に強く依存している.
この遥かに複雑な設定下でべき単流はもはや tractable ではない.
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tractable, 何か数学で対応するような用語があった気がしたので,
とりあえず英語のままにしておいた.
幾何・力学系がわからなくてつらい.
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Mirzakhani はかわりに Benoist と Quint の“指数ドリフト” 法を使っている.
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2831114
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論文, フランス語のようだ.
フランス人は大事な論文であっても英語ではなく
フランス語で書いてくるのであまりにも憎たらしい.
理由はこれだけではないが, 最近フランス語の勉強をはじめた.
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Ratner の定理は等質力学系に関わる全ての問題に対して
信じられないくらい役に立つし, Mirzakhani, Eskin, Mohammadi による
類似の定理も同じように広い応用を持つ.
例えば有理多角形内の周期的なビリヤードの軌跡を数えるのに使える.
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よくわからないが Terence Tao が incredibly useful という
Ratner の定理がやばいということだけは伝わった.
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長くなったが, これで Terence Tao のブログの翻訳は
とりあえず終わった.
Simons 財団のページの翻訳はさらに長いので
心が折れつつありやらないかもしれない.
興味がある方は直接読んだ方がいいかもしれない.
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